在一个多目标决策方案中,将事物、特征以及量值以有序三元组来描述^{[ 10, 11, 12]}。事物即方案M_j,表示第j个方案;特征即评价指标C_i表示第j个方案的第i项评价指标,其对应的量值用x_ji表示,从而可以构成以R_mn表示的m个方案的n维复合物元。

将x_ji量值改为模糊物元量值,则称为m个方案n维复合模糊物元,即:

(1)

式中:μ _ji表示第j个方案第i个评价指标相应的从优隶属度。

越大越优型:

越小越优型:

其中, j=1,…, m; i=1,…, n;max x _ji,min x _ji分别表示 R _mn中 x _ji的最大值和最小值。

由式(1)可以构成标准样品 M₀的 n维模糊物元 ,其中第i项评价指标相应的从优隶属度μ_{0 i}由 内各方案的从优隶属度中的最大值或最小值确定。以Δ _ji(j=1,2,…,m;i=1,2,…,n)表示 R _on与 中两者各项差的平方,即Δ _ji=(μ_{0 i}-μ _ji)²,则组成复合模糊物元 R _Δ。

以 R _w表示每一方案各评价指标的权重复合物元,并以 W _i ^*表示每一方案第 i项指标的组合权重。

利用基于 Pareto原则的灰关联和 DEA确定组合权重,可以计算得到 R _w,即:

(2)

1.2.1 灰关联确定指标权重

各评价指标的权重可应用向量余弦的灰关联进行确定。

(1)评价矩阵生成

设指标体系共有m项指标,有n个方案,则评价矩阵为 X=( x _ij) _m×n( i=1,2,…, m; j=1,2,…, n),其中 x _ij表示第 j个方案关于第 i个评价指标的指标值。

(2)参考序列选取

最优序列 U和最劣序列 L,其中 U=( u₁, u₂,…, u _m)^T, L=( l₁, l₂,…, l _m)^T。对越大越优型指标,最优序列 U取大,最劣序列 L取小,反之,对越小越优型指标, U取小, L取大。

(3)各方案与 U、 L的相对偏差矩阵确定

优偏差矩阵R=(r_ij)_m×n;劣偏差矩阵S=(S_ij)_m×n。

式中:

(3)

(4)

(4)各评价指标权重的确定

计算 R的行向量 r _i与 S对应的行向量 s _i的余弦夹角^{[ 13]}:

(5)

得 ,将其归一化得到指标的权向量:

(6)

式中:

1.2.2 用 DEA确定指标权重

DEA对每一个决策单元建立对其最有利的数学规划模型,通过解其最优解来确定指标权重,不同的决策单元拥有不同的指标权重,且均相对最优。因此, DEA是一种变权评价方法,属于非均一评价^{[ 14]}。本文为了尽最大可能避免由于指标取舍与简化带来的影响,采用仅有产出的多目标 DEA模型^{[ 15]}。

设有 n个决策单元 DMU _j( j=1,2,…, n),仅知其产出为:

式中: Y _rj表示第 j个决策单元 DMU _j的第 r种产出。

建立仅有产出的多目标 DEA模型为

(7)

求解上述线性规划模型即可得各指标相应的权重,将其归一化处理,可得:

1.2.3 综合权重的确定

灰关联为均一评价方法, DEA是非均一评价方法,本文依据 Pareto原则^{[ 16]},采用线性加权方法确定评价指标的综合权重,即:

(8)

用欧式贴近度表示所给样本与标准样本之间的贴近程度,即:

由此,构造样品欧式贴近度复合模糊物元:

(9)

构造复合物元 R_{5 ×7}。加工精度要求 C₁,资产原值 C₂,年平均停台时间 C₃,年平均维修费用 C₄和平均故障间隔时间倒数 C₅均为越大越优型即产出指标。根据从优隶属度,可得复合模糊物元 。由 R_{5 ×7}与 可得差平方模糊物元 R _Δ。

(1)最优与最劣向量确定

最优向量:

U=(0.0055,20.227572,2600,3.49,0.0047)^T

最劣向量:

L=(0.0015,1.61245,340,1.32,0.0015)^T

(2)权重确定

各方案与 U, L的相对偏差矩阵 R, Δ为

R, Δ是根据确定的最优向量和最劣向量而得。由式(5)(6)知各指标的权重 W为

W=(0.1383,0.2589,0.1879,0.2080,0.2069)^T

采用线性比例法对指标原始数据进行无量纲化处理,可得矩阵 B。

针对设备 A,应用 Matlab软件求解规划(7),可得: δ'₁=1, δ₁=1.0000, δ₂=1.0000, δ₃=1.0000, δ₄=1.0000, δ₅=1.0000.

对其归一化处理可得:

W₁=(0.2000,0.2000,0.2000,0.2000,0.2000)^T

同理:

同理:

根据欧式贴近度的大小可以确定设备的重要顺序为: M₁、 M₂、 M₄、 M₆、 M₅、 M₇、 M₃。