不失一般性,本文假设是一条双车场的双向公交线路,公交OD固定,客流出行分布主要集中在上行前半段和下行后半段,断面客流呈现如图1所示的类偏态分布,其中A表示全程车,车辆从线路起点站到终点站,必须在沿线各固定的车站依次停靠,并驶满全程的一种基本调度形式;B表示区间车,车辆仅行驶在从线路某一方向起点到折返点区段的一种辅助调度形式。公交线路在一个方向包含 N个站点( N-1个区间),如图2所示,运行方向(从1到 N)代表方向1(上行),相反方向(从 N到1)代表方向2(下行),区间车从起点1行驶到 s₁并折返。 和 f _B分别表示上、下行全程车和区间车的发车频率。本文对以下两种情况进行探讨和对比分析:①组合调度。同时考虑线路双向及单向客流分布的不均衡性,以上、下行方向开不同频率的全程车并辅之以区间车的调度模式(见图2);②单一调度。根据线路双向客流分布情况在上、下行方向开行不同频率的全程车。

图1

Fig.1

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	图1 客流断面分布Fig.1 Distribution of passenger flow throughput

图2

Fig.2

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	图2 组合调度形式Fig.2 Mode of mixed scheduling

本文提出了以下几个基本假设和定义:

(1)上车和下车过程同时进行,而且上车速率小于下车速率,故站点总停留时间主要取决于乘客上车总时间。

(2)车辆到达服从泊松分布或均匀分布。

(3)乘客均匀到达,并乘坐第一辆到达的车辆,因此,乘客平均等待时间在车辆到达服从均匀分布的情况下等于发车间隔的一半,在车辆到达服从泊松分布的情况下等于发车间隔^{[ 1]}。

定义 乘客从 k站上车,在[ l₁, l₂]下车的人数(人/h): ;乘客从[ l₁, l₂]上车, k站下车的人数(人/h): ; k站在方向1的上车人数: ; k站在方向1的下车人数: ; k站在方向2的上车人数: ; k站在方向2的下车人数:

假设公交系统内采用一票制,企业的收入在OD已知情况下是固定的,经济效益好体现在运营成本的降低。公交系统成本包括乘客出行时间成本和公交公司运营成本。两者都会受到组合调度策略的影响,前者是因为乘客的等车时间和在车时间与发车频率和站点停靠站时间密切相关;后者是因为运力配置和线路满载率会随着组合调度策略的实施而变化。其中乘客出行时间成本包括等车时间成本和在车时间成本,而在车时间包括站点间运行时间及停靠站时间。

1.2.1 等车时间成本

组合调度下乘客等车时间成本取决于上(下)行方向区间车范围内和范围外的等车乘客需求 它们可表示为

(1)

式中: 表示等车时间价值;

1.2.2 在车时间成本

组合调度乘客在车时间成本主要取决于乘客在车行驶时间 g₄以及上(下)行方向区间车范围内和范围外的乘客上车需求 和 ,它们可表示为

(2)

式中: P _v表示在车时间价值; 表示乘客平均上车时间;

1.2.3 运营成本

根据文献^{[ 16]},运营成本可分为时间成本和空间成本。前者包括司乘人员工资,而后者包含车辆运行成本,如燃油费、润滑油、轮胎磨损、维护费用等。单位时间运营成本可以表达为

(3)

式中: c _o表示每车小时费用(元/(veh·h)); c' _o 表示每车公里费用(元/(veh·km))。

对于组合调度,运营费用包括全程车A的成本 和区间车B的成本 C _{oB ,}可表示为

(4)

式中:

表示全程车单向行程时间(不包括停站时间); 表示区间车行程时间(不包括停站时间)。

为了满足乘客乘坐第一辆到达的车辆的假设条件,车载容量必须能够容纳线路最高客流断面的所有乘客,基于固定公交OD分布,可以计算断面客流,进而根据发车频率可以求出车辆最高满载率,用来评价线路的拥挤程度和服务水平。最高满载率可表示为

(5)

式中: 和 分别表示上、下行方向各站点的断面客流,可由OD矩阵获得; 和 分别表示上、下行方向各站点的通过车次; K为单位公交车的运力; η为客流因子,0< η≤1, Kη表示车辆的期望拥挤度。

1.4.1 求解预算限制下组合调度问题的算法

由式(1)(2)(4)相加可得到组合调度模式下的系统总成本 建立预算限制的公交车辆组合调度问题如下:

(6)

(7)

式(6)表示最小化公交系统总成本;式(7)表示组合调度的运营成本。 C_o不超过预算限制 A 。

设 λ为不等式约束的乘数(本文称其为预算限制水平),根据拉格朗日乘子法则将其转化为如下无约束优化问题:

(8)

根据一阶条件 ,化简可以分别得到关于 的一元四次方程。

为了得到近似最优解,引入Furth提出的调度模式的概念^{[ 12]},令 于是目标函数变为关于 m、 n和 的非线性函数,解得

(9)

(10)

将式(9)(10)代入表示式 中,则 因此,问题转化为搜索使 最小化的全局最优值( n^*, m^*,s₁^*)。

由于 C_t ( n, m, s₁)中年 n、 m、 s₁均为离散值,问题属于组合优化问题,对于给定的预算限制水平 和站点集 ,给出相应的可行调度模式 m、 n的集合 M={ m₀, m₀+0.01, m₀+0.02,…, m₀+ m}, N={ n₀, n₀+0.01, n₀+0.02,…, n₀+ n},其中 m₀、 n₀ 、 m、 n为常数。令 m₀= n₀=0,将每一组数据代入 C_t ( n, m, s₁),通过比较得到一个最小值 和对应的( n, m, s₁)值,从而求出全程车和区间车最优发车频率及区间车折返站点,即 。本文利用C语言编程求解。

1.4.2 预算限制下单一调度的优化变量

当 f _B =0即 m= n=0时,组合调度变为单一调度模型,于是可由式(9)(10)得到单一调度的优化变量为

(11)

(12)

1.4.3 关于预算限制的数理基础

在进行组合调度策略之前,给出如下定理。

定理1 预算限制水平 λ随着预算 A的减少而增大。

证明 假设有如下凸规划问题:

(13)

(14)

如果 λ是约束条件的乘数,根据拉格朗日乘子法则,问题转化为

(15)

即

(16)

因为 λ A与 x无关,于是可以得到最优的 x ^* ( λ )满足

(17)

最后,问题可以转化为

(18)

令 λ _i为 λ预算限制 A _i的约束因子,则

(19)

由式(17)可以得到

(20)

因此,乘数 λ随着预算 A的减少而增大。证毕。

定理2 预算限制在优化调度中相当于减少乘客的时间价值。

证明 从最优发车频率式(9)可得:

从上式可以看出:预算限制将乘客等车时间价值 P _w和时间价值 P _v分别减少为 P _w/(1+ λ)和 P _v/(1+ λ)而且预算限制水平 λ越大,乘客时间价值越小。

与式(9)类似,从式(10)(11)(12)也可以得到上述结论。因此,预算限制在优化调度中相当于减少乘客的时间价值。证毕。

假设某条公交线路有10个站点,OD分布矩阵和断面客流如表1和图1所示,断面客流呈现明显的偏态分布,客流出行主要集中在上行方向的前半段(1→5)。参数假定如下: L=8 km, P _w=30 元/h, P _v=20 元/h, c _o=20 元/(veh·h), c' _o=10 元/(veh·km), b=5 s/人, K=60 人/veh, K=60 人/veh, η=0.9。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 公交OD矩阵 Table 1 OD matrix of bus O D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 25 8 49 13 10 17 41 4 2 2 57 0 87 98 461 58 115 35 4 2 3 46 386 0 113 217 113 23 15 6 3 4 82 148 360 0 54 19 13 9 8 4 5 94 239 337 131 0 51 15 24 7 15 6 61 36 67 22 119 0 17 30 17 6 7 15 5 59 15 15 28 0 9 16 10 8 3 3 6 9 9 15 9 0 12 8 9 3 3 36 9 9 25 3 5 0 5 10 1 1 11 3 3 11 9 2 3 0

表1 公交OD矩阵 Table 1 OD matrix of bus

由图3、图4可以看出:随着预算限制水平 的增大,乘客出行时间及在车时间成本和系统总成本也随之增大。说明预算限制会减少供给资源的投入(包括总发车次数和运力配置)(见图5、6),引起乘客的出行时间及其成本的增大,并导致车辆最高满载率的增加和服务水平的降低,这与图7相一致。值得一提的是,预算限制越大,系统总成本越大(见图3(d)),当 λ =0时,系统总成本最低,说明为了使公交系统达到整体最优,必须提高公交系统的财政投入,据此,可以计算使系统总成本最低的最优政府补贴。

图3

Fig.3

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	图3 不同预算限制水平 λ下的系统成本Fig.3 System cost under different value of λ

图4

Fig.4

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	图4 不同预算限制水平 λ下的乘客出行时间Fig.4 Passenger travel time under different value of λ

图5

Fig.5

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	图5 不同预算限制水平 λ下的总发车次数Fig.5 Total trip number under different value of λ

图6

Fig.6

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	图6 不同预算限制水平 λ下的运力配置Fig.6 Fleet size under different value of λ

图7

Fig.7

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	图7 不同预算限制水平 λ下的最高满载率曲线Fig.7 Maximum full-load ratio under different value of λ

在图3(c)中,运营成本与预算限制水平 λ一一对应,运营成本随着 的增加而减少,当 λ从0增加到3时,单一调度与组合调度的运营成本分别从6863元减少到3538元和从6804元减少到3421元;在 相等时,组合调度的运营成本均不高于单一调度,然而组合调度有效地减少了乘客等车时间成本、在车时间成本和系统总成本以及乘客平均出行时间,说明在预算限制下可以通过组合策略的实施,使出行乘客和公交企业都获益。

从表2可以看出:在相同的预算限制水平 λ时,组合调度比单一调度的运营成本有所减少,但相差不大,乘客等车时间成本、在车时间成本和系统总成本分别减少2.2%、1.26%和1.32%,运力配置从28台减少到27台,车辆最高满载率从91%减少到85%,因此,在减少企业成本的同时也提高了服务水平,与上述结论一致。

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 当预算限制 λ=0 .6时的优化变量 Table 2 Optimal values for financial constraints λ=0.6 运营 单一 组合 f1·()-1/(veh·h-1) 28 27 f1·()-1/(veh·h-1) 33 26 fB/(veh·h-1) - 8 F/veh 28 27 d/% 91 85 C w/元 2592 2535 C v/元 13836 13662 C o/元 4675 4627 C t/元 21103 20824 Δ C w/% -2.2 - Δ C v/% -1.26 - Δ C o/% -1.03 - Δ C t/% -1.32 - 注: Δ Cw 、 ΔC v 、 ΔC o 、 ΔCt分别表示单一调度与组合调度的等车时间成本、在车时间成本、运营成本和系统总成本的相差百分比。

表2 当预算限制 λ=0 .6时的优化变量 Table 2 Optimal values for financial constraints λ=0.6

图8和图9分别给出了在不同预算限制水平下组合调度与单一调度的最优发车频率以及组合调度最佳折返站点。从图8可以看出: 与预算限制水平呈单调递减的趋势,而 f _B在一定范围内上下波动;从图9可以看出:预算限制会影响组合调度最佳折返站点的选取,当 λ从0增加到3的过程中,最佳折返位置在站点6附近上下波动。由于预算投入与约束因子 λ是一一对应的关系,所以在实际应用中,可以根据运营成本的投入限制确定预算限制水平 λ值,从而根据 λ进一步得到组合调度最优发车频率和折返站点,同时可以从图6和图7中得到相应的运力配置和服务水平,因此,在预算限制下,可以通过组合策略的实施,使出行乘客和公交企业都获益,达到企业利益与社会效益的双赢。

图8

Fig.8

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	图8 不同预算限制水平 λ下的最优发车频率Fig.8 Optimal frequencies under different value of λ

图9

Fig.9

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	图9 不同预算限制水平 λ下的最佳折返站点Fig.9 Optimal turn-back point under different value of λ