传统的Capon、MUSIC和ESPRIT^[1]等波达方向(Direction of arrival,DOA)估计方法对相干及强相关信源具有较低的稳健性,难以满足诸如多径等情况下的实际需求。近年来,作为压缩感知理论体系^[2]的核心——稀疏信号重构越来越广泛地应用于雷达、无线传感器网络、图像处理、生物传感、光谱分析以及信道均衡等领域^[3],其波达方向估计也日益受到重视。文献[4]利用奇异值分解(SVD)降低算法复杂度和对噪声的敏感性,基于凸优化( l₁范数)进行稀疏重构获得目标DOA估计。在文献[4]的基础上,文献[5]和文献[6]分别利用噪声子空间和Capon谱函数构建加权 l₁范数约束,进一步提高了估计性能。上述凸优化类算法具有全局最优性,但计算复杂度高,且受信源数影响严重。文献[7]利用阵列协方差矩阵的列向量作为观测数据获得稀疏信号模型,提出了基于全局匹配滤波(GMF)的稀疏DOA估计方法,克服凸优化类算法计算复杂度受信源数影响的缺陷。文献[8]应用迭代加权最小范数算法(FOCUSS)进行稀疏重构,获得目标信号的DOA估计,与凸优化类稀疏重构算法相比,该类算法具有更低的计算复杂度^[9]。文献[10]进一步改进了FOUCSS算法,提出了多测量矢量欠定系统聚焦求解(MFOCUSS)算法。但是上述FOCUSS类方法易受到噪声干扰的影响,同时网格细划分下过完备基条件数过大又会带来严重的病态问题。

针对上述问题,本文提出了两种新的稀疏DOA估计方法,首先利用阵列协方差矩阵各列向量的稀疏表示构建稀疏矩阵,然后分别基于剔除及差分处理抑制噪声干扰,通过奇异值分解及阈值处理克服网格细划分下过完备基条件数过大带来的病态问题。最后,通过仿真试验验证了所提算法的有效性。

假设有K个远场窄带信号从不同的入射方向θ_k(k=1,2,…,K)入射到M(>K)元均匀线阵上,阵元间距为d,如图1所示:

图1

Fig.1

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	图1 远场源定位模型Fig.1 Far-field source localization model

以第一个阵元为相位参考点,高斯白噪声背景下t时刻阵列输出可表示为

式中: s( t) =[ s₁( t), s₂( t),…, s _K( t)]^T为零均值信号向量; n( t)为零均值、方差为 σ²的噪声向量; A( θ)为 M×K的阵列流型矩阵,其第 k列(代表第 k个信号)的导向矢量为

式中: f为载波频率; c为传播速度。

为了将传统的 DOA估计问题转变为稀疏信号重构问题,假定空间存在 N( >M)个可能的波达方向,则式(1)可重新表示为

式中: s '( t)为 K稀疏的信号向量,其非零元素对应于 s( t); B( θ)为过完备基,具有典型的 Vandermonde矩阵结构,表示为

为此采用二阶统计量获得阵列输出的协方差矩阵(4)式中: φ _i =2π fdsin θ _i /c; i=1,2,…, N。

针对式(3)表示的数据矩阵,利用文献[5 -8]中的稀疏重构算法求解式(3)的欠定方程组即可得到 DOA估计,然而由于噪声的存在,算法稳健性难以保障。为此采用二阶统计量获得阵列输出的协方差矩阵

式中: R _s =E{ s '( t) s '^H( t)} =diag{ P₁, P₂,…, P _N}为 K稀疏的信号协方差矩阵; P _i为假定的第 i个信号的功率; I为 M×N的单位矩阵。

取 R _x的第 m( m=1,2,…, M)列,表示为 = BR ' _s+σ² I^{( m)}(6)式中: I^{( m)}为一个列向量,它的第 m个元素为1,其他为0; R ' _s为 K稀疏的列向量。

以下仿真实验中,考虑由9个阵元组成的 ULA阵列,阵元间距为0 .5倍波长,在加性高斯白噪声背景下,采用 l _p范数约束正则化 FOCUSS方法进行稀疏重构,实验中正则化参数 λ=0 .1, p=0 .8。为了方便起见,分别取 R _xr、 R _d的第一列作为观测值,基于式(7)和式(14)的稀疏重构算法定义为 VFOCUSS和 DFOCUSS,基于式(7)和式(14)过完备基进行奇异值分解及通过阈值处理后再进行稀疏重构的方法分别定义为 SVDVFOCUSS和 SVDDFOCUSS。均方根误差定义为RMSE = (18)式中:P为蒙特卡洛仿真次数;K为总信源个数;θ _k为第k个信源的真实DOA; 为第 t次实验的估计值。

实验1 考虑两个窄带非相关信源 DOA估计情况,入射角度分别为θ₁ =5 °,θ₂ =20 °, SNR=5 dB,快拍数为500,以0 .1 °进行空间网格划分,阈值p设定为0 .1。10次独立 Monte-Carlo实验结果如图2和图3所示:

图2

Fig.2

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	图2 VFOCUSS与SVDVFOCUSS的归一化空间谱Fig.2 The normalized spatial spectrum of VFOCUSS and SVDVFOCUSS

图3

Fig.3

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	图3 DFOCUSS与SVDDFOCUSS的归一化空间谱Fig.3 The normalized spatial spectrum of DFOCUSS and SVDDFOCUSS

为了便于说明,实验中采用归一化空间谱输出结果。特别地,图3中的负峰值为伪峰,由差分操作引入,可通过正负符号判断去除。可以看出,本文所提的两种方法均可以有效地抑制过完备基条件数过大带来的病态问题。

实验2 考虑两个邻近窄带非相关信源DOA估计情况,入射角度分别为 θ₁=15°, θ₂=20°,快拍数为200。图4为SNR=10 dB和SNR=0 dB条件下SVDVFOCUSS、SVDDFOCUSS方法与经典CAPON方法、MUSIC方法的空间谱输出对比。SNR=10 dB时,除CAPON方法外均能很好地分辨两个信源,当SNR降低至0 dB时,本文所提的两种方法仍能很好地分辨两个信源,而MUSIC方法模糊了两个峰值,显示了本文所提算法具有较高的分辨率性能。

图4

Fig.4

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	图4 SVDVFOCUSS、SVDDFOCUSS与CAPON、MUSIC的空间谱对比Fig.4 Spatial spectrum of SVDVFOCUSS、SVDD-FOCUSS、CAPON、MUSIC

实验3 分别考虑两个窄带不相关和相关(相关系数0.99)信源DOA估计情况,入射角度分别为 θ₁=10°, θ₂=20°,快拍数为200,设定阈值为 p=0.1,信噪比由-15 dB变化到15 dB,每种信噪比做100次Monte-Carlo实验。由图5(a)可以看出,当信源不相关时,本文方法估计性能在低信噪比条件下最好,而在中、高信噪比条件下性能低于其他方法,这是由于FOCUSS类方法本身并不是全局最优导致的。同时还可以看到,SVDVFOCUSS方法在相同条件下优于SVDDFOCUSS方法,这是由于差分运算会带来一定的孔径损失。在信源强相关或相干条件下,如图5(b)所示,本文方法在中、低信噪比条件下具有优于MUSIC和ESPRIT的估计性能。特别地,在低和高信噪比条件下,SVDVFOCUSS方法具有最好的估计性能,而在中信噪比条件下接近GMF方法。值得指出的是,虽然GMF方法在某些条件下优于本文所提的两种方法,其计算量也明显高于本文方法,参见文献[9],因此本文所提算法可以认为是在计算量与估计精度间的一个很好的折中。

图5

Fig.5

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	图5 RMSE随信噪比变化而变化的曲线Fig.5 Curves of RMSE with SNR

提出了两种新的基于二阶统计量与FOCUSS相结合的稀疏DOA估计方法,该方法通过剔除及差分处理降低噪声干扰,通过取列向量和对过完备基进行奇异值分解并经合理的阈值化处理可降低算法复杂度及抑制过完备基条件数过大带来的病态问题,与经典子空间方法相比,本文方法不仅具有更高的分辨率,而且具有对相关信源的强稳健性。与GMF方法相比,本文方法可认为是在计算量与估计精度间的一个很好的折中。