本文利用IFCM聚类算法优化论域区间划分标准,并在论域划分之前引入易识别的滑动窗口机制,实现序列数据的直觉模糊化预处理。

设给定长度为l的时间序列历史数据X=(x₁,x₂,…,x_τ,…,x_l),定义滑动窗口宽度w,序列前件长度p以及预测向量维数d,其中w=p+d。则序列数据的直觉模糊化预处理算法可描述为:

Step1 在时刻τ沿着X序列执行滑动窗口机制,构建X的一个子序列S_τ,可定义为: =(x_τ,x_τ+1,…,x_τ+w-1)。则相应的包含n个子序列数据集S可表示为:

S=, , ,…,

(5)

式中:n=(l-p)/d。

Step2 利用IFCM聚类算法对S进行聚类^{[ 11]},获取c个聚类中心,即M={M₁,M₂,…,M_c}。因此,序列论域便可动态划分为c个优化子区间,其相应的语言变量直觉模糊集A_j可定义为:

Aj=

(6)

式中:<μ_jk,γ_jk>表示M_k属于直觉模糊集A_j的隶属度与非隶属度函数对,可按下式计算:

<μjk,γjk>=

(7)

Step3 直觉模糊化原始序列。根据式(8)计算数据集S中所有子序列S_τ属于A_j的隶属度及非隶属度函数:

<μ_jτ,γ_jτ>=< ,1- > (8)

式中:e为平滑参数,通常取e=2;λ≤1为犹豫度调节因子。

因此,序列数据集X对应的IFTS可相应地表示为:F(n)=F₁,F₂,…,F_n,其中F_i∈{A₁,A₂,…,A_c}。

Step4 参考文献^{[ 9]}动态构建确定性转换直觉模糊规则库(DCRIF_base)。

设直觉模糊化预处理后某个时间段待预测的直觉模糊时间序列为F_r=(f₁,f₂,…,f_t,…,f_r),相应的查询时间序列为X'=(x₁,x₂,…,x_w)。可见,根据式(2),序列数据f_t经推理可获得对应于X'在时刻w+(t-1)d,w+(t-1)d-(d-1),w+(t-1)d-(d-2),…的d维预测值,则其结果时间序列可表示为:

X'=(x₁,x₂,…,x_w, (f₂,d),…, (f_t,d),…) (9)

式中: (f_t,d)=( , ,…, )。

因此,基于矢量量化的长期IFTS预测算法可描述为:

Step1 确定直觉模糊观察子序列Temp F。

若r>q,需观察长度为q的直觉模糊子序列Temp F=F_r-q+s,…,F_r-1,F_r;否则,Temp F=F_s-1,F_s,…,F_r,其中s∈[1,r]。

Step2 根据观察子序列Temp F进行直觉模糊规则库的查看及匹配。

本文采用文献^{[ 12]}中的启发式规则,如果Temp F与确定性转换直觉模糊规则i^*的前件rb_cause(i^*)匹配,即Temp F→rb_cause(i^*),则F_r+1对应规则i^*的后件,Temp F_r+1→rb_effect(i^*),跳至Step4;否则,转到Step3。

Step3 矢量量化方法估计预测结果。

令F_r=A_j,A_j∈{A₁,…,A_c},则IFTS中p维历史数据可表示为:past(A_j,p)=( ,…, , );d维待预测的直觉模糊向量值(缺失值)可定义为: (F_r+1,d)=( , ,…, )。加入历史数据,直觉模糊扩展 (F_r+1,d)为p+d维向量,则D_r+1=(past(A_j,p)| (F_r+1,d))=( , ,…, , , ,…, )。根据式(3)(4)计算距离D_r+1质心最近的直觉模糊聚类中心 =( , ,…, ),即 (D_r+1)=‖D_r+1- ‖= ‖D_r+1-M_j‖。输出F_r+1→ 。

Step4 去直觉模糊化精确输出。

若IFTS预测结果为F_r+1→ ,则Defuzz( )= =( , ,…, )。因此,d维预测向量可表示为: (F_r+1,d)=( ,…, , )。

为了验证预测算法的有效性,本文采用模糊时间序列预测模型研究系列文献中的常用观测数据进行测试^{[ 13]},其输入序列可表示为X(t)=(26.1,27.8,…,30.2),取前20天平均气温数据序列为训练样本,利用基于矢量量化的长期IFTS模型进行预测。

(1)序列数据直觉模糊化预处理

Step1 执行滑动窗口操作获取数据集S,并利用IFCM聚类算法优化区间划分。令p=2,d=2,则w=4。根据式(5)可知:S= , , , , , , , , 。各子序列数据的取值如表1所示。取c=3,即论域可划分为3个子区间,利用IFCM算法获取相应的聚类中心为:M₁=(26.15,27.84,29.10,30.47);M₂=(29.42,29.81,29.23,30.04);M₃=(29.04,28.61,28.15,27.32)。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 子序列数据集取值表 Table 1 Subsequence data set values table 子序列 序列数值 26.1 27.8 29.0 30.5 29.0 30.5 30.0 29.5 30.0 29.5 30.0 29.5 30.0 29.5 29.7 29.4 29.7 29.4 29.3 28.5 29.3 28.5 28.7 27.5 28.7 27.5 29.5 28.8 29.5 28.8 29.0 30.3 29.0 30.3 30.2 30.9

表1 子序列数据集取值表 Table 1 Subsequence data set values table

Step2 构建直觉模糊时间序列及其对应的确定性转换动态直觉模糊规则库。

设定语言变量直觉模糊集:A₁代表{低}、A₂代表{适中}、A₃代表{高},其中 A _j = <μ_jk,γ_jk>/M_k。根据式(6)(7)可定义直觉模糊集 A _j为:

(10)

令犹豫度调节因子λ =0 .97。根据式(3)(8)计算数据集 S中所有子序列属于 A _j的隶属度与非隶属度函数对,其结果如表2所示。

根据文献[8]关于直觉模糊期望值计算理论,观察 F( t)对 A _j的期望排序,获取 IFTS为: F₉ =( A₁, A₂, A₂, A₂, A₃, A₃, A₃, A₂, A₂)。因此,由确定性转换直觉模糊规则库算法可知其对应规则如表3所示^{[ 9]}。

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 直觉模糊集隶属度与非隶属度函数取值表 Table 2 Numerical values for IFS membership grade and non membership grade function 子序列 隶属度与非隶属度函数取值 A1 A2 A3 F(1) <0.96,0.02> <0.02,0.97> <0.02,0.97> F(2) <0.13,0.85> <0.64,0.34> <.23,0.76> F(3) <0.09,0.90> <0.66,0.32> <0.25,0.74> F(4) <0.11,0.88> <0.54,0.44> <0.34,0.65> F(5) <0.11,0.88> <0.30,0.69> <0.58,0.40> F(6) <0.12,0.87> <0.20,0.79> <0.68,0.30> F(7) <0.20,0.79> <0.25,0.74> <0.55,0.43> F(8) <0.16,0.83> <0.54,0.44> <0.29,0.70> F(9) <0.18,0.81> <0.59,0.39> <0.22,0.77>

表2 直觉模糊集隶属度与非隶属度函数取值表 Table 2 Numerical values for IFS membership grade and non membership grade function

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 确定性转换直觉模糊规则关系式 Table 3 Rules repository of intuitionistic fuzzy deterministic transition rb1:A1→A2 rb2:A1A2→A2 rb3:A3A2→A2 rb4:A1A2A2→A2 rb5:A2A2A2→A3 rb6:A2A3→A3 rb7:A2A3A3→A3 rb8:A3A3A3→A2

表3 确定性转换直觉模糊规则关系式 Table 3 Rules repository of intuitionistic fuzzy deterministic transition

(2)基于矢量量化方法的长期IFTS预测

Step1 确定观察子序列Temp F。给定测试数据集t=1时刻的数据资料,时间序列(x₁,x₂,x₃,x₄)的直觉模糊集可表示为F₁→F(1)→A₃。查询序列A₃的长度r=1,规则库中前件的最大长度q=3,即r0,F₁。

Step2 直觉模糊规则库查看与匹配。遍历查询表3描述的DCRIF_base可知,没有相匹配的规则。因此,调用矢量量化方法进行IFTS长期趋势预测。

Step3 矢量量化方法获取预测结果。首先,考察p=2维的IFTS历史数据。例如past(A₃,2)=(28.15,27.32),增加预测向量进行扩展,则D₂=(past(A₂,2)| (F₂,2))=(28.15,27.32, , ),其中 (F₂,2)=( , )为缺失数据,在对扩展向量与IFCM聚类中心进行比较时,不考虑此缺失数据。最后,根据式(3)(4)计算距D₂质心最近的聚类中心M_j:M₃(D₂)= ‖D₂-M_j‖。因此,输出预测结果为:F₂→A₃。

Step4 去直觉模糊化输出。由F₂→A₃可知,Defuzz(A₃)=(29.04,28.61,28.15,27.32),则二维待预测向量可表示为: (F₂,2)=(28.15,27.32)。用同样的算法遍历整个数据集,若直觉模糊时间序列F=F₁F₂F₃→A₃A₃A₃,则已预测的序列长度r=3,r≥q,根据确定性转换直觉模糊规则库rb8知:F₄→A₂,待预测向量可表示为: (F₄,2)=(29.23,30.04)。因此,如表4所示,可计算测试数据集基于矢量量化的长期IFTS预测结果。

表4

Table 4

表4(Table 4)

表4 基于矢量量化长期IFTS预测结果 Table 4 Forecasting results for Long-term IFTS based on vector quantization 原始序列 IFTS 直觉模糊预测值 预测精确值 30.8 F1→A3 - - 28.7 - - - 27.8 - - - 27.4 - - - 27.7 F2 A3(VQ) 28.15 27.1 - - 27.32 28.4 F3 A3(VQ) 28.15 27.8 - - 27.32 29.1 F4 A2 rb8 29.23 30.2 - - 30.04

表4 基于矢量量化长期IFTS预测结果 Table 4 Forecasting results for Long-term IFTS based on vector quantization

如图2所示,将本文提出的长期IFTS预测算法与几种常用的FTS预测算法进行比较,并利用度量标准中的均方差(MSE)、平均预测误差率(AFER)和算法的时间复杂度(T(n))对系统的预测性能进行测试,结果如表5所示。

图2

Fig.2

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	图2 预测结果对比图Fig.2 Constrast figure of predicted results

表5

Table 5

表5(Table 5)

表5 预测算法性能比较 Table 5 Performance comparison for different forecasting methods 算 法 度量标准 AFER MSE T(n) 文献[2]算法 3.91 1.719 O(kn2) 文献[3]算法 3.71 1.53 O((k+1)n) 文献[4]算法 2.97 1.14 O(n2) 文献[6]算法 2.57 1.32 O(2pwn) 文献[16]算法 2.63 1.221 O(pwn) 文献[11]算法 2.05 0.769 O(wn) 本文预测模型 1.96 0.749 O(wn)

表5 预测算法性能比较 Table 5 Performance comparison for different forecasting methods

由此可见,短期FTS预测模型对于具有明显非线性特征的序列数据在长期趋势预测上易陷入局部收敛;基于确定性转换IFTS预测虽能从本质上把握非线性数据的波动特征,较好地反映序列数据的模糊变化趋势,但针对没有规则相匹配的长期时间范围预测,忽略了数据间的模糊依赖性,预测精度不高;基于矢量量化的长期IFTS预测算法将长期趋势预测转换为矢量预测,不仅简化了算法的复杂度,准确描述了序列数据的不确定性本质,充分考虑了历史知识对预测向量的影响,虽短期范围预测的准确度有所波动,但随着时间的延伸,系统的预测精度得到了较大的提高。