通常互谱估计需要两个相关时间序列。为了对信号进行互谱估计运算,首先要通过独立双通道放大器测量方法将其转化为互谱估计问题^{[ 5]}。图1为相互独立的双通道互谱估计器原理图。

图1

Fig.1

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	图1 相互独立的双通道互谱估计器原理图Fig.1 Independent cross spectral estimator diagram

图1中,放大器A和放大器B各采用两个相互独立电源 E_CC1和 E_CC2供电,所以这两个放大器在电气上相互隔离,从而所产生的噪声也是相互独立的。设两个放大器的放大倍数分别为k₁和k₂,则两个放大器输出信号x(t)和y(t)分别为:

x(t)=k₁s_i(t)+n₁(t) (1)

y(t)=k₂s_i(t)+n₂(t) (2)

式中:n₁(t)、n₂(t)为两个相互独立的零均值观测噪声。

根据式(1)(2)能够求出x(t)和y(t)的互相关函数r_xy(τ)为:

r_xy(τ)=E{x(t)y(t+τ)} (3)

E{[k₁s_i(t)+n₁(t)][k₂s_i(t+τ)+n₂(t+τ)]}=k₁k₂r_si(τ) (4)

式中:τ为随机时间变量。

显然这种方法可以抑制放大器噪声,从而实现对信号的互谱估计。

现代互谱估计方法成立首先需要满足以下两个条件:①通过两个随机序列的线性模型可直接求得其互功率谱(互谱计算问题);②两个线性模型可通过互功率谱的分解求得(互谱分解问题)^{[ 6]}。针对互谱计算问题,有以下定理:

定理1 设时间序列x(k)、y(k)均为平稳的自回归滑动平均模型(ARMA),且联合平稳,即:

x(k)= ω_x(k) (5)

y(k)= ω_y(k) (6)

式中:

=

(7)

=

(8)

式中:A(z^-1)、C(z^-1)的零点都处于单位圆内;ω_x(k)、ω_y(k)均为零均值白噪声;ω_x(k)、ω_y(k)的互功率谱密度为:

(ω)=σ (9)

可得x(k)、y(k)的互功率谱密度为

Sxy(ω)=σ

(10)

如果式(10)采用Z变换形式表示,那么可得

Sxy(z)=σ

(11)

式中:σ为一个标量因子;S_xy(z)为互功率谱S_xy(ω)的Z变换,该互功率谱分解是唯一的。

关于互谱分解问题,有以下相关定义和定理:

定义1 S_xy(ω)存在且不为零,且为e^jωT的有理函数(T为采样周期),则称S_xy(ω)为有理谱。

定理2(互功率谱分解定理) 若联合平稳的两个随机过程的互功率谱S_xy(ω)具有有理谱形式,且其互相关函数r_xy(m)(m=0,1,…)均为实数,则必存在两个零极点均在单位圆内的实系数有理函数:

Hx(z-1)==

(12)

Hy(z-1)==

(13)

满足:

Sxy(z)=σHx(z)Hy(z-1)=σ

(14)

目前,很多自谱估计法都是在自相关函数的Yule-Walker方程基础上提出的,要构造互谱估计法,需先创立互相关函数的Yule-Walker方程。

定理3(互相关函数的Yule-Walker方程) 设时间序列x(k)、y(k)均为零均值、平稳且联合平稳的实AR过程,即:

x(k)=

(15)

y(k)=

(16)

A(z^-1)=1+a₁z^-1+…+a_pz^-p;a_p≠0 (17)

B(z^-1)=1+b₁z^-1+…+b_qz^-q;b_q≠0 (18)

式中:A(z^-1)和B(z^-1)的根都处于单位圆内;ω_x(k)和ω_y(k)均为零均值噪声序列,且E[ω_x(k)ω_y(k+n)]=σ_xyδ(n),δ(n)为Kronecker Delta函数,则互相关函数序列r_xy(k)、r_yx(k)(k=0,1,…)满足下列Yule-Walker方程:

(19)

简写为:

R _xy B = σ(20)

(21)

简写为:

R _yx A = σ(22)

由式(20)(22)可知,求取参数 A和 B需要做矩阵求逆,运算量很大。

定理4 设矩阵 R _xy、 R _yx分别如式(19)和(21)中所定义,且 R _xy、 R _yx维数相同,则对于矩阵方程:

(23)

有:

(24)

根据定理4,可以推导出 AR模型参数估计的 Levinson算法,算法递推步骤如下。

首先初始化:

=-

(25)

=-

(26)

= (0) + (1) (27)

对 n=1,2,…,取:

= ( n-i+1), =1 (28)

= ( n-i+1), =1 (29)

=-

(30)

=-

(31)

(32)

(33)

由此可以计算出 σ _xy、 A和 B,进而得到时间序列 x( k)、 y( k)的互功率谱估计。

为了验证Levinson算法的谱估计性能,应用下面两个数字仿真模型:

x(k)=1.585 66x(k-1)-2.557 3x(k-2)+1.554 11x(k-3)-0.960 596x(k-4)+ω(k)+n_x(k)

y(k)=1.545 15y(k-1)-2.476 66y(k-2)+1.483 97y(k-3)-0.922 368y(k-4)+ω(k)+n_y(k)

式中:时间序列x(k)和y(k)的AR模型的极点均在单位圆附近,分别为:

[0.99 exp(±j0.9)] [0.99 exp(±j0.2)]

[0.98 exp(±j0.95)] [0.98 exp(±j0.1)]

n_x(k)、n_y(k)均为测量噪声,由方差为1的ω_x(k)和ω_y(k)通过两个带通滤波器产生,取x(k)、y(k)的信噪比为0 dB,数据长度为512,Levinson算法的互谱估计图如图2所示。

图2

Fig.2

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	图2 Levinson算法的互谱估计Fig.2 Cross spectral estimation of the Levinson algorithm

由图2可知:在测量噪声和信噪比为0 dB的情况下,基于互谱AR模型参数估计的Levinson算法也具有良好的谱估计性能,能够有效地抑制测量噪声。

试验条件:无测量噪声和干扰,收发端一致;信噪比E _b/N₀取0,1,2,…,8 dB;随机相位范围是:e^jθ(ω)={ |θ_i(ω)∈[0, ,…, ]};信道模型是加性高斯白噪声信道选用随机二进制数作为数据源^{[ 7]}。

试验方法:采用9阶的m序列作为随机序列,分别选用双极性调制、二元循环移位键控(BSCK)调制和二元循环翻转移位键控(BCASK)调制。仿真结果如图3~5所示。

图3

Fig.3

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	图3 采用不同调制方法的TDCS误码率Fig.3 The TDCS error rate under different modulation method

仿真结果表明:TDCS的误码率随着信噪比的增加而减小。采用三种调制方法得到的TDCS误码率接近理论值,其中采用BCSK和BCASK调制方法取得的效果均好于采用双极性调制方法。

试验条件:

(1)采用随机二进制数作为数据源。

(2)测量噪声ω_x(n)、ω_y(n)采用方差为1的白噪声,通过一带通滤波器生成,其表达式为:

H(z)= 其功率谱密度曲线如图4所示。

图4

Fig.4

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	图4 测量噪声的功率谱Fig.4 Power spectrum of the measurement noise

(3)干扰分别选用单音干扰、多音干扰、10%窄带干扰和70%窄带干扰。

(4)信噪比 E_b/ N₀=4 dB,干信比 J/E为0,1,2,…,30 dB。

(5)随机相位的范围是:

e^jθ(ω)={ |θ_i(ω)∈[0, ,…, ]}

(6)选用直接序列扩频的抗干扰性能作为比较对象。

试验方法:

(1)应用本文提出的基于互谱AR模型参数估计的Levinson算法作为信道谱估计法。

(2)采用9阶的m序列作为随机序列,周期是2⁹-1=511。

(3)调制方法分别选用双极性调制、二元循环移位键控(BSCK)调制和二元循环翻转移位键控(BCASK)调制。

仿真结果如图5~图7所示。

图5

Fig.5

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	图5 基于互谱AR模型参数估计的Levinson算法在不同干扰下信道的功率谱Fig.5 Channel power spectrum under different interference of the Levinson algorithm based on the parameter estimation of cross spectral AR model

图6

Fig.6

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	图6 测量噪声背景下生成的幅度谱图Fig.6 The amplitude spectrum in the measurement of noise background

图7

Fig.7

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	图7 测量噪声背景下基于BCASK调制的不同在不同干扰下的误码率Fig.7 The TDCS error rate of different modulation in different interference in the measurement of noise background

从图5可以看出:本文提出的方法能够有效地抑制测量噪声,功率谱的分辨率也较高。从图6可以看出:应用幅度谱成型法可以很好地抑制信道中的单音干扰、多音干扰、10%窄带干扰和70%窄带干扰。从图7(a)可以看出:在有测量噪声的背景下,基于双极性调制的TDCS在不同干扰下的误码率与理论值非常接近,后期随着信噪比增加,虽然误码率有所增加,但整体上远低于理论最小误码率。从图7(b)可以看出:在有测量噪声的背景下,基于BCSK调制的TDCS在不同干扰下的误码率前期与理论值非常接近,后期对10%的窄带干扰随信噪比的增大而增加,误码率明显增加,但对其他干扰仍非常接近理论值。从图7(c)可以看出:在有测量噪声的背景下,基于BCASK调制在不同干扰下的误码率前期与理论值非常接近,后期对单音干扰随信噪比的增大而增加,误码率有明显增加,对于其他干扰仍非常接近理论值。

由以上结果可知,在有测量噪声的背景下,本文提出的基于互谱AR模型参数估计的Levinson算法的TDCS能够有效地抑制测量噪声,而且TDCS有很强的抗干扰能力,同直接序列扩频相比,大大降低了误码率。