分数阶傅里叶变换的定义形式可以解释为对时频面的旋转,这非常利于Chirp信号的分析。首先FRFT^{[ 9, 10, 11]}的表示式为:

F _α( u)= s( t) K( u, t)d t=A _α s( t)exp dt α≠2nπ, α≠2nπ+π (1)

式中: A _α= , α为旋转的角度; K( u, t)为 FRFT的核函数;当 α=2 nπ和 α=2 nπ+π时, F _α( u)分别等于 s( t)和 s( -t); t为时间; j表示复数。

假设 M个间隔为 d的均匀线阵接收 Chirp信号,参考点接收的 Chirp信号 s( t)的表达式为:

s₀( t)=exp[ jπ(2 f₀ t² +kt)] (2)

式中: f₀、 k分别为 Chirp信号的初始频率和调频斜率。

对式(2)进行 FRFT,得到:

=ρ·exp

(3)

式中: ρ= 。

相对于参考阵元,对第 m个阵元接受的 Chi rp信号 x _m( t)进行 FRFT,则有:

( u)= ( u)exp + F _αnoise( u) (4)

式中: τ _m为 Chirp信号到达第 m个阵元时相对参考阵元的时延, τ _m =mdsin θ/c, θ为 Chirp信号的入射方向角, c为速度; F _αnoise( u)为加性高斯白噪声 n( t)的 FRFT变换式, n( t)的均值为零。

从式(4)可以得出阵列流形为:

b( u, α, θ)=

(5)

x( u, α)= B( u, α) s( u, α)+ n( u, α) (6)

式中: s( u, α)、 n( u, α)分别为信号和噪声的 FRFT向量。

s( u, α)=

(7)

n( u, α)=

(8)

在 FRFT域内,得到的 FRFT矩阵表示为:

B( u, α)=

(9)

式(4)的数学期望表示为:

E

(10)

式中:

=

(11)

在波达方向角估计中,FRFT的协方差矩阵为:

R x( u) =E

(12)

式(12)中第(i,j)元素为:

=E

(13)

为了使Chirp信号能量在FRFT域集中,从式(11)可以得到: cotα=-k(14) 为了更直观,利用图1表示新时频轴与原时频轴的关系。

图1

Fig.1

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	图1 旋转时频面Fig.1 Rotated time-frequency plane

Chirp信号的斜率是计算频率集得到的,这使误差大大降低,而且在DOA估计前也无需预估计。将式(14)代入式(5)可以得到:

b(u,α,θ)=[ exp[j( cotατ₁+2ku secα+2 πf₀)τ₁],…, exp[j( cotατ_m+2ku secα+2πf₀)τ_m]] ^Τ (15)

通过式(15)可以看出:二维搜索降低为一维搜索,大大降低了运算量。

本文中,利用分数傅里叶变换提出的宽带Chirp信号到达角估计方法,同样可以应用到发射不同斜率的宽带Chirp信号。同一信源发射多个Chirp信号,只需检测其中一个Chirp信号的斜率,并决定旋转角度,就可得到该信源的波达方向角。该算法的优势主要表现在两个方面:①与其他算法相比较无需预估计,如信源数;②在FRFT域内Chirp信号的能量集中,远远大于噪声能量,提高了信噪比。

Step1 计算Chirp信号的调频斜率 k;

Step2 通过Chirp信号的FRFT变换得到方向矢量矩阵;

Step3 根据式(12)计算相关矩阵 R _x( u, k);

Step4 由最小方差无畸变响应( MVDR)^{[ 12]}得到式(16),并根据式(16)计算空间谱^{[ 13]},搜索波峰:

P( θ)=

(16)