本文以AM信号为例,研究信号的时域和频域Sevcik分形维数的特性。设信号s _AM(t)= cos(2 πf _ct),其中: f_c为载波频率, f_c∈[20,200] MHz; f₀为基带信号频率, f₀∈[2,20] MHz; k=0.8为调制系数。采样频率为1000 MHz。进行100次测试,每次测试中 f₀和 f_c在其范围内随机变化,设 N=5000。图1描述了每次测试中AM信号和高斯白噪声的时域和频域Sevcik分形维数的变化。由图1可以看出:AM信号的时域Sevcik分形维数随调制参数变化而发生剧烈变化,且部分数值与高斯白噪声的时域Sevcik分形维数值重叠,因此对于某些调制参数的AM信号,利用时域Sevcik分形维数无法区分信号和噪声。而AM信号的频域Sevcik分形维数随调制参数变化不大,且可以与高斯白噪声的频域Sevcik分形维数清晰地分开。因此可以利用频域Sevcik分形维数区分AM信号和噪声。本文还对FM、PM、ASK、FSK、PSK、LFM等信号进行了测试,其时域和频域Sevcik分形维数均具有类似的特性。因此,本文从频域上计算Sevcik分形维数进行快速盲频谱感知。

图1

Fig.1

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	图1 噪声和信号的频域Sevcik分形维数Fig.1 Sevcik fractal dimension in frequency domain of noise and signal

利用频域Sevcik分形维数进行频谱感知的方法的系统框图如图2所示。

具体计算方法如下:

对式(7)进行N点离散傅里叶(DFT)变换,得:

(9)

图2

Fig.2

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	图2 利用频域Sevcik分形维数进行频谱感知方法的系统框图Fig.2 System chart of the fast blind spectrum sensing using Sevcik fractal dimension in frequency domain

式中:Y(k)、W(k)和S(k)分别为y(n)、ω(n)和s(n)的离散傅里叶变换。

设 Y( k)、 W( k)和 S( k)分别为 Y( k)、 W( k)和 S( k)的模,利用式(2)对 Y( k)进行归一化,由于 Y( k)为 y( n)的 DFT,因此 Y_min可设为0,得:

= =

(10)

利用式(3)和式(6)计算 Y ^*( k)的 Sevcik分形维数 D,并将 D与预先设定的门限 λ比较,以判断主用户的存在与否:

(11)

在假设H₀时,即主用户不存在时, y( n) ~N(0, σ₀²)。对 y( n)进行 N点 DFT,得:

Y( k)= y( n)exp( -j kn) k=0,1,…, N-1 (12)

由于高斯分布的线性组合仍然是线性分布,故 Y( k)也服从高斯分布,计算其均值与方差为:

E[ Y( k)]= E[ y( n)]exp( -j kn)=0 (13)

D[ Y( k)]=

(14)

由于 Y( k)为复数, Y( k) =Y_r( k) +jY_i( k),因此实部 Y_r( k)和虚部 Y_i( k)分别满足高斯分布^{[ 15]}:

Y_r( k) ~N(0, ), Y_i( k) ~N(0, ) (15)

由 Y( k)= ,可知 Y( k)服从参数为 =N /2的瑞利分布,其概率密度函数 f _Y( Y)和累积分布函数 F _Y( Y)分别为:

f _Y( Y)= exp(- ) (16)

F _Y( Y)= f _Y( Y)d Y=1-exp(- ) (17)

可得 Y( k)的均值 E[ Y]和方差 D[ Y]分别为:

E[ Y]==

(18)

D[ Y]=(2-) =(1- ) N

(19)

利用式(10)对 Y( k)进行归一化得 Y ^*( k) =Y( k) /Y_max,其中 Y_max可视为一个常数。 Y ^*( k)的期望和方差分别为:

E[ Y *] =E[]= E[ Y]=

(20)

D[ Y *] =D[]= D[ Y]=(2- )

(21)

则式(6)中的 部分的期望为:

E[]=2 E[ ]=

(22)

在以上分析中,一直将 Y_max看作是一个常数,但对于特定分布, Y_max为一个与 σ₁有关的量。由概率论理论可得, Y_max的数学期望 E[ Y_max]为:

E[ Y_max] =NCσ₁(23)

式中: C为一常数, C= · η²exp(- )d η, η=Y_max /σ₁。

这样由式(3)(6)(22)(23)可得假设H₀时 Sevcik分形维数的期望值为:

E[ D]=1+

(24)

由式(24)可见,高斯白噪声的频域 Sevcik分形维数的数学期望与噪声功率 σ₀²无关,为一个常数,因此对噪声不确定性不敏感。

设序列长度N=5000。使用 Matlab对高斯白噪声在不同噪声功率下的频域 Sevcik分形维数进行仿真和计算,结果如图3所示。由图3可以看出:当噪声功率在-30 ~20 dBm内变化时,高斯白噪声的频域 Sevcik分形维数在均值1.814附近随机浮动,与噪声功率无关,因此不受噪声不确定性的影响,与式(24)所得结果一致。

图3

Fig.3

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	图3 噪声强度对高斯白噪声频域Sevcik分形维数的影响Fig.3 Effect of the noise intensity on Sevcik fractal dimension in frequency domain of white Gaussian noise

下面以载波频率为100 MHz的AM、FM、PM、ASK、FSK、PSK信号以及单位脉冲带宽为30 MHz的LFM信号为例,分析在不同噪声强度时信号的频域Sevcik分形维数特性。采样频率设为1 000 MHz。图4为7种不同调制类型信号在不同信噪比下的频域Sevcik分形维数。由图4可以看出:7种信号的频域Sevcik分形维数随着信噪比的增加而呈下降趋势。这是由于随着信噪比的增加,信号的随机性和复杂性也随之降低,因此,其分形维数也随之减少。将图3与图4比较可知,即使在主用户调制类型未知时的盲感知情况下,只要选取合适的门限,当信噪比大于一定值时,便可以将信号与噪声区分出来,以此判别主用户的存在与否。

图4

Fig.4

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	图4 噪声强度对信号频域Sevcik分形维数的影响Fig.4 Effect of the noise intensity on Sevcik fractal dimension in frequency domain of signals

由式(24)可知,高斯白噪声的频域Sevcik分形维数只与序列长度N有关。因此,只要N确定,分形维数的期望便可确定,再根据虚警概率要求,式(11)中的门限值λ即可确定。门限值越高,主用户信号的检测概率和虚警概率越高,反之亦然,具体应根据对检测概率和虚警概率的要求而设定。图5为当N在1000~19 000之间变化时,其频域Sevcik分形维数的均值标准差曲线以及门限值曲线。所有结果均为10 000次计算后得到的平均值。其中,平均虚警概率0.05门限值曲线即第5百分位数曲线,由该曲线确定的门限值能够保证在该值以下的概率小于0.05,即平均虚警概率小于0.05,以此类推。由图5可以看出:随着N的增加,分形维数值也随之增加,且变化比较平稳。因此,只要序列长度N和虚警概率确定,门限值λ便随之确定。

图5

Fig.5

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	图5 门限值的选取Fig.5 Selection of the threshold

本文以AM、FM、PM、ASK、FSK、PSK和LFM七种不同调制类型信号为例,使用Monte Carlo方法对本文提出的利用频域Sevcik分形维数进行频谱感知的方法进行分析,Monte Carlo仿真次数为10 000次,每次仿真中各类型调制信号参数均在一定范围内随机变化。采样频率为1000 MHz。图6给出了7种不同调制类型信号在不同信噪比下的检测概率 P_d变化曲线。设平均虚警概率等于0.03,由图5可得门限值 λ=1.797。设 N=5000。由图6可以看出,当信噪比大于-15 dB时,7种信号均能够获得100%的检测概率,在低信噪比情况下能够达到较高的检测性能。

图6

Fig.6

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	图6 不同调制类型信号的检测概率Fig.6 Detection probabilities of signals with different modulation types

本文以AM、FM、PM、ASK、FSK、PSK和LFM七种调制类型信号的平均检测概率 P_{d_ave}为指标,对本文提出的利用频域Sevcik分形维数进行频谱感知的方法与文献[9]中的基于Higuchi分形维数进行盲频谱感知的方法、文献^{[ 10]}提出的基于盒维数的频谱感知技术和能量检测方法进行比较。设 N=5000, λ=1.797,使平均虚警概率等于0.03。结果如图7所示。由图7可以看出:在同等情况下,本文方法明显优于能量检测、Higuchi分形维数法和盒维数法,在低信噪比下能够达到更高的检测性能。

图7

Fig.7

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	图7 不同频谱感知方法检测性能的比较Fig.7 Comparison of the detection performances between different spectrum sensing methods

噪声不确定性广泛存在于实际的通信系统中,对噪声不确定性不敏感是检测器的基本要求。目前被广泛使用的能量检测方法,由于信噪比墙的存在,在噪声具有不确定性时检测性能严重下降。当存在x dB的噪声不确定性时,对于信噪比低于信噪比墙SNR _wall=10 log₁₀ dB的信号便无法检测^{[ 8]}。例如当噪声不确定度为1 dB、信噪比低于-5.87 dB时能量检测便无能为力。在本文方法中,由于高斯白噪声的频域Sevcik分形维数与噪声功率无关,因此对噪声不确定性不敏感。图8为噪声不确定度分别为±1、±2、±5 dB时本文方法的感知性能。设 N=5000, λ=1.797,各算法的平均虚警概率等于0.03。由图8可以看出:当噪声不确定度分别为±1、±2、±5 dB时,系统的感知性能稍有下降,但变化不大,对噪声不确定性并不敏感。当信噪比大于-12 dB时,即使在±5 dB噪声不确定度的情况下,仍能够达到100%的平均检测概率。

图8

Fig.8

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	图8 噪声不确定性情况下的感知性能Fig.8 Detection performance in the situation of noise uncertain

使用Matlab软件对本文方法、Higuchi分形维数法^{[ 9]}、盒维数法^{[ 10]}、能量检测以及循环平稳特征检测的运算时间进行比较。以本文方法 N=1000时进行1000次运算的时间为标准,对各算法时间进行归一化,结果如表1所示。由表1可以看出:本文方法的运算时间明显小于Higuchi分形维数法、盒维数法和循环平稳特征检测。在序列长度 N=1000时,其运算时间约为Higuchi分形维数法的1/5、盒维数法的1/8、循环平稳特征检测的1/800。频谱感知时间的减少,对减少感知开销、提高网络吞吐量都具有重要意义。相比以简单著称的能量检测方法,本文方法的运算时间虽然高于能量检测, 却能克服能量检测对噪声不确定性敏感和低信噪比下检测性能差的问题。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 归一化运算时间比较 Table 1 Comparison of the normalized computation time 感知方法 序列长度 1000 2000 5000 10 000 本文方法 1 1.9 4.8 10.1 Higuchi分形维数法 5.1 5.6 7.9 9.7 盒维数法 8.5 16.5 42.7 82.8 能量检测 0.17 0.36 0.81 1.67 循环平稳特征检测 858.5 3308.2 15357.6 64293.1

表1 归一化运算时间比较 Table 1 Comparison of the normalized computation time