进行温度场分析时,采用有限元法,主要步骤为:①寻找与热传导方程等价的变分方程;②对温度场求解域进行离散、单元变分、总体合成,将变分问题近似表达为线性方程组;③求解方程组,将方程组的解近似为热传导方程的解。

三维瞬态温度场热传导微分方程:

式中: ρ为材料的质量密度; c为比热容; T为材料内部任一点的温度; K为各向同性热导率; 为单位体积内热生成率。热成形过程中, 包含板料塑性变形生热 和组织相变释放的潜热 。

式中: α为塑性功转化成热的比例; σ'_ij为应力偏张量; 为应变率张量。

热成形过程是热、力、相变多场耦合的复杂过程,钢板在热成形过程中会发生相变,相变潜热可表示为^{[ 7]}:

式中: L为奥氏体转变为马氏体的相变潜热; ξ为马氏体组织转变量。

马宁等^{[ 8]}建立了热、力、相变耦合本构关系,其中马氏体组织转变量与等效应力及温度的关系如下:

式中: θ为马氏体转变速率参数; 为等效应力; M_s为马氏体转变开始温度。

进行热成形过程中模具热传导分析时,假设模具内部无热源,即 =0。

在热成形过程中,板料与模具之间的接触压力及表面粗糙度状况决定了板料冷却速率的大小。基于传热热阻模型,板料与模具之间的等效热流密度可表示为:

式中: h_eff代表板料与模具之间的等效界面换热系数; T_b为板料表面的温度; T_t为模具表面温度。

在热成形中采用带有水冷系统的特殊模具,保证模具吸收板料热量后温度不至于升得很高,从而保证板料成形后具有优良的性能。模具与冷却介质的换热可采用冷却管道处的对流换热边界条件来近似描述:

式中: h_c代表冷却管道表面的对流换热系数; T_c为冷却管道表面的温度; T_w为冷却水温度。

为模拟热成形过程中板料温度响应,采用四节点温度壳单元^{[ 9]}。该温度壳单元采用了 ξ₁ ξ₂ ξ₃曲线坐标系, ξ₁、 ξ₂在中面内, ξ₃垂直于中面。在单元的上、下表面上分别有 ξ₃ =-1 /2和 ξ₃ =1 /2。假设单元内温度场沿厚度方向为二次变化:

式中: T₀( ξ₁, ξ₂, t)为板料中面温度; T₁( ξ₁, ξ₂, t)和 T₂( ξ₁, ξ₂, t)可由板料上、下表面温度边界条件得出。

对于三维水冷模具,采用四面体单元进行温度场有限元离散,如图2所示。

图2

Fig.2

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	图2 四面体单元Fig.2 Tetrahedron element

假设单元内的温度 T是随坐标( x, y, z)线性变化的函数:

式中: a₁、 a₂、 a₃、 a₄为待定系数。

将单元4个节点坐标代入上式求解方程组可以得到试探函数的系数 a₁、 a₂、 a₃、 a₄,回代可得试探函数:

式中: N_ξ为四面体单元离散的形函数; V_e为四面体单元体积, a_ξ、 b_ξ、 c_ξ、 d_ξ( ξ=i, j, m, l)是与节点相互位置相关的系数,具体的计算公式见文献[10]。

单元瞬态温度场有限元方程的矩阵形式可表示为:

式中: C^e为单元热容矩阵; K^e为单元热传导矩阵; 和 T^e分别为单元节点温度对时间的导数向量和节点温度向量; F^e为节点温度载荷向量。

对于瞬态热传导有限元方程的求解,需将时间进行离散。本文采用的是多步法-Houbolt差分法对时间进行离散。该差分法的具体公式为:

式中: 为 t+Δt时刻的温度 T对时间的导数; T_t+Δt、 T_t、 T_t-Δt和 T_{t-2 Δt}分别为 t+Δt、 t、 t-Δt和 t-2 Δt时刻的温度值。

基于上述温度场有限元算法及热成形过程中的复杂传热情况,开发了热成形温度场分析模块KMAS_HF,给出了如下热成形过程温度场数值模拟解决方案:首先运用前处理软件实现水冷模具工作表面、水道表面的提取,并定义接触表面及相应的温度边界条件,进而通过有限元计算分析热成形板料和水冷模具温度场,获得包括板料、水冷模具及冷却管道的静、动态温度分布云图和变化曲线。

以U型试件为例,对其热成形三维温度场进行了数值模拟分析,有限元模型如图3所示,板料为22MnB5,厚度为2.0 mm,开始成形温度为750 ℃。采用单动形式,凸模速度为100 mm/s,成形时间为0.5 s,保压淬火时间为25 s。

图3

Fig.3

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	图3 U型热成形有限元模型Fig.3 Finite element model for hot forming of U-shaped specimen

首先利用温度场前处理模块,对三维四面体模具进行工作表面、水道表面的提取,如图4所示,并定义接触表面及相应的温度边界条件。

图4

Fig.4

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	图4 凹模前处理结果Fig.4 Pre-processing results for die

板料热力学属性如表1所示^{[ 11]},模具的热力学属性如下:密度为7800 kg/m³;比热容为350 J/(kg·K);热导率为50 W/(m·K)。热成形过程中,板料与模具之间的等效界面换热系数为1500 W/(m²·K),水冷管道表面的对流换热系数为4700 W/(m²·K)^{[ 6]}。奥氏体转变为马氏体的相变潜热为8.2×10⁴ J/kg^{[ 12]}。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 板料热力学属性 Table 1 Thermal properties of sheet metal 温度 T/℃ 比热容 C /(J·kg-1·K-1) 热导率 /(W·m-1·K-1) 20 377 46.1 100 477 46.1 200 511 44.8 400 590 39.8 600 741 34.3 800 821 26.4

表1 板料热力学属性 Table 1 Thermal properties of sheet metal

图5为板料不同阶段温度分布图,冲压阶段结束后,板料的温度基本都维持在710℃以上,由于在冲压过程中,板料沿模具圆角向里滑动,所以板料侧壁温度较低,而底部和法兰区域成形结束后才与模具完全接触,温度较高;淬火结束后,板料温度都降低到100℃以下,且分布较均匀。

图5

Fig.5

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	图5 不同阶段板料温度分布图Fig.5 Temperature distribution of sheet metaln in different stages

图6为淬火结束后凹模及其水道面温度分布情况。图7为淬火结束后凸模及其水道面温度分布情况。

从模具温度分布图6、图7可以看出:

(1)由于水道的冷却效果,带有水道的三维模具整体温度相对于板料并不高,基本能够实现对自身和板料的快速冷却效果。热量很难越过水道向下扩散。

图6

Fig.6

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	图6 淬火结束后凹模温度分布图Fig.6 Temperature distribution of die after quenching

图7

Fig.7

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	图7 淬火结束后凸模温度分布图Fig.7 Temperature distribution of punch after quenching

(2)淬火结束后凹模最高温度出现在凹模上部圆角及侧壁,凸模最高温度出现在凸模顶部及顶部圆角,凹、凸模其余位置处模具的温度值相对较低,冷却水道的冷却效果较好。原因在于开始冲压时,凸模运动,其顶部先与红热板料接触,且板料在变形的过程中,板料一直与凹模顶部圆角接触,凹模侧壁水冷管道直径较小,且离侧壁面较远,冷却效果相对较差。

(3)由于数值模拟忽略了水道中水流方向、流速、水压等因素对水道边界温度的影响,冷却水设定为常温,所以不同横截面上的温度分布规律基本相同。板料的热量通过接触模面向模具传递,呈现从接触面逐渐向下,从边界面逐渐向内部传递的趋势。

(4)模具中水道表面一直保持较低的温度,温度较高的模具模面附近的水道温度也相对较高。水道的温度变化也反映模具中温度分布和热量扩散规律,为水道优化设计提供参考。