由于电路集成度和数字信号的频率随着电气电子设备的迅速发展而不断地提高,这使得由互电感和互电容等因素引起的线束串扰问题变得越来越突出^{[ 1, 2, 3]},而线束串扰会严重影响信号的完整性和可靠性,甚至可能损坏电路元件及误触发信号导致系统不能正常工作^{[ 1, 2, 3]}。多导体传输线方程的本质是双曲型偏微分方程组,所以近年来偏微分方程的数值解理论已经成为了研究传输线瞬态响应的重要手段,并且取得了很好的效果,例如传统的FDTD格式^{[ 4]},Lax-Friedrichs格式^{[ 5, 6]},Lax-Wendroff格式^{[ 7]},Upwind格式^{[ 8, 9]}等。其中传统的FDTD格式与Lax-Wendroff格式是具有二阶精度的差分方法,虽然间断的过渡区域较窄,但间断前后有相对较大的非物理振荡,不利于提取完整的信号信息。文献[8]中的Upwind格式是将一阶拟线性方程组的差分格式用于计算传输线方程的数值解,但是其只能用于求解双导体传输线方程,而且在编程之前要进行复杂的计算和差分变换,步骤较为繁琐。本文将通量分裂法^{[ 10]}应用于一阶迎风差分格式,将传输线方程的系数矩阵进行通量分裂,从而减小了推导过程的工作量,便于编程,同时还能够解决多导体传输线的串扰问题,扩大了其应用范围。

为了验证方法的有效性,通过仿真实验,将本文算法运行的结果和传统的FDTD格式及Lax-Wendroff格式求解多导体传输线串扰问题的结果进行对比。仿真结果表明,本文算法运算结果与FDTD及Lax-Wendroff算法运行结果基本吻合,并且克服了间断解处的振荡,更好地反应了串扰信号所包含的信息。

通量分裂也称特征分解,首先求出偏微分方程系数矩阵的相似对角矩阵,然后根据相似对角矩阵特征值的正负情况,将其表示为两个对角矩阵的和,其中一个对角矩阵的主对角线上的值由相似对角矩阵主对角线上正或者零的元素组成,另一个对角矩阵的主对角线上的值由相似对角矩阵主对角线上负或者零的元素组成。将通量分裂应用到如下形式的方程:

式中: U是含有 m个元素的列向量; A是 m×m的系数矩阵。

系数矩阵 A的相似变换过程可以表示为:

式中: Λ是系数矩阵 A的相似对角矩阵。

应用式(2)可以将式(1)表示为如下解耦方程:

系数矩阵 A对应的相似对角矩阵中,任何的特征值 λ_l都可以表示为:

如果 λ_l≥0,则 = λ_l, =0;如果 λ_l≤0,则 =0, = λ_l。

应用式(2)(5),可以分裂相似对角矩阵:

式中: Λ⁺和 Λ^-分别有对角元素 和 。因此式(2)可以写成下面的形式:

由上述可知,通量分解就是先对一阶线性偏微分方程组的系数矩阵 A进行相似变换,求得其相似对角矩阵 Λ,然后再将 Λ按照主对角线上特征值的正负进行分裂,得到 Λ⁺和 Λ^-,接着将 Λ⁺和 Λ^-相似对角化得到 A⁺和 A^-。求得这两个矩阵对于利用一阶迎风格式求解传输线方程至关重要,因为一阶迎风格式的构建求解需要根据特征值的正负来选择向前差分还是向后差分计算。

多导体传输线的方程可以表示为:

式中: R是传输线的分布电阻矩阵; L是传输线的分布电感矩阵; C是传输线的分布电容矩阵; G是传输线的分布电导矩阵。

为了推导出应用通量分解法的一阶迎风格式,将多导体传输线方程(8)(9)写成:

式中: u= ;矩阵 A= ;矩阵 B= ; Λ表示系数矩阵 A的相似对角矩阵,它可以分解为如式(6)所示的两个矩阵,其中:

为了计算方便,此处引进一个新的特征变量:

通过变换获得式(12):

式中: T^-1和 T为使系数矩阵 A对角化的可逆矩阵。

将式(11)(12)代入式(10)中可得用于推导边界条件的方程:

同时为了有利于应用一阶迎风格式,将式(10)表示为通量分解后的偏微分方程形式:

对图3中的(2+1)多导体传输线系统进行仿真。通过实例说明本文算法在传输线瞬态响应中的应用,并将计算结果与其他差分方法所得的结果进行比较。

图3

Fig.3

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	图3 简单的(2+1)多导体传输线系统Fig.3 Simple (2+1) multi conductor transmission line system

假设多导体传输线的长度为1 m,它的单位长度参数矩阵分别为:

L= nH/m

C= pF/m

R= Ω/m

G= S/m

传输线的激励源为梯形电压波,上升和下降时间都为0.334 ns,顶部持续时间为12.5 ns,持续阶段的电压值为1 V。将传输线等分为200段,每段的长度(即空间步长)Δ x=0.005 m,传输线的源阻抗与负载阻抗都为50 Ω,对于本文算法和另外两种格式的算法均取空间步长Δ x=0.005 m,时间步长Δ t=(6e-12) s。发射线与受扰线的近端与远端电压计算结果如图4~图7所示。

图4

Fig.4

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	图4 发射线近端的电压波形Fig.4 Voltage waveform of proximal emission line

图5

Fig.5

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	图5 发射线远端的电压波形Fig.5 Voltage waveform of distal emission line

图6

Fig.6

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	图6 受扰线近端的电压波形Fig.6 Voltage waveform of proximal disturbed line

图7

Fig.7

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	图7 受扰线远端的电压波形Fig.7 Voltage waveform of distal disturbance line

从图4~图7可以看出,本文算法和传统的FDTD格式及Lax-Wendroff格式所仿真出的结果很吻合,在间断解处,本文算法的过渡区域与传统的FDTD格式及Lax-Wendroff格式的宽度基本一致;同时在时间步长及空间步长相同的情况下,3种格式的仿真效率也大致相同,但本文算法克服了传统FDTD格式和Lax-Wendroff格式在间断解处的较大的非物理振荡。

图8

Fig.8

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	图8 不同时间步长、空间步长的仿真效果图Fig.8 Simulation diagram of different time steps and different space steps

观察表1和图8可以发现,时间步长与空间步长减小,计算精度提高,但计算时间变长。因此在实际应用中,要综合考虑时间成本和计算精度,合理选择时间步长与空间步长。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 不同时间步长、空间步长的运行时间 Table 1 Running time of different time steps and different space steps 方式 时间步长/ns 空间步长/m 计算时间/s 1 0.048 0.04 1.3 2 0.024 0.02 4.6 3 0.012 0.01 18.4 4 0.006 0.005 76

表1 不同时间步长、空间步长的运行时间 Table 1 Running time of different time steps and different space steps

根据传输线方程的双曲特性,结合通量分裂法,给出了可应用于传输线瞬态分析的具有一阶精度的迎风格式的差分方案。仿真结果表明:这种基于传输线方程时-空离散的数值计算方法不仅消除了因空间坐标离散而导致的间断解处的寄生振荡,而且克服了文献[8-9]只能求双导体传输线的限制,其边界条件表达更为简单,省去了复杂的数学推导,编程方便,可用于求解多导体传输线的方程。