混沌^{[ 1]}是非线性的确知系统,具有对初始条件极其敏感、短时可预测等特性,混沌背景下的微弱信号检测与估计是目前信号处理研究的热点和难点。混沌背景下微弱信号检测的主要理论依据是混沌相空间重构和神经网络理论,其实质是选择合适的方法抑制混沌序列,突显微弱信号,实现微弱信号检测。首先,采用伪最近邻法^{[ 2, 3]}、C-C法^{[ 4]}、互信息量^{[ 5]}等获得混沌时间序列的嵌入维 m和时间延迟 τ,重构混沌相空间;然后运用神经网络拟合混沌预测模型;最后,利用混沌预测模型进行单步预测,获得预测值,并计算预测值与实际值的误差,运用适当的方法(傅里叶变换FFT、幅值分析等)检测误差中是否存在微弱信号。1995年,Haykin^{[ 6]}等采用反向传播(BP)神经网络与混沌相空间重构结合,较好地解决了海杂波(具有混沌特性)背景下的微弱信号检测。随后研究者提出了混沌相空间重构与径向基函数(RBF)^{[ 7, 8]}、支持向量机(SVM)等^{[ 9]}神经网络结合的改进算法。但这类方法也存在一些问题:①没有讨论噪声对检测的影响,只有少量文献对噪声进行了^{[ 10]}研究,而实际应用中,噪声无处不在,导致方法的实用性降低;②忽略了微弱信号对混沌系统后期状态的影响,而当周期信号加入到混沌时间序列中时,这种影响不能忽略。

Kurian等^{[ 11, 12, 13]}通过添加对偶同步改进了上述方法,在分析过程中考虑了噪声的影响,提高了方法的实用性,引入同步后算法在性能上有了较大提高^{[ 12]}。混沌同步减小了噪声、微弱信号对混沌系统后期状态的影响,但文献[11-13]中只分析了算法在较高信杂比(-25 dB)下的检测性能,没有分析在低信杂比下的检测性能及噪声的影响。混沌同步一般是指两个混沌系统最终到达同步的过程,混沌对初始条件非常敏感,两个混沌系统看似不可能同步。1990年,Pecora和Carroll^{[ 14]}发现了两个耦合混沌振子的同步现象,提出了PC同步法使混沌应用成为可能^{[ 15, 16]}。混沌同步减少了初始条件对混沌系统的影响,可用于含噪声混沌系统的参数估计^{[ 17, 18]}。1994年,Brown^{[ 19]}提出采用混沌时间序列建模实现系统的混沌同步,2002年,Voss^{[ 20]}提出消散型混沌同步实现了混沌时间序列与混沌系统同步。采用混沌时间序列与混沌系统的同步实现微弱信号检测具有可行性。混沌同步的研究也得到了国内学者^{[ 21, 22]}的关注。

近年来,作者对混沌背景下的微弱信号检测进行了一定的研究^{[ 9]},但这些方法只研究了混沌信号和微弱信号存在的情况,没有考虑噪声的影响。本文将在上述研究基础上,结合混沌同步理论,实现混沌信号、噪声、微弱信号同时存在的微弱信号检测,使检测方法的实用性更强。

驱动-响应模型是混沌同步中较成熟的模型,单向耦合混沌同步^{[ 23]}是驱动-响应同步中的一种,其定义如下。

假设某混沌系统表示为:

则由该系统作为驱动系统和响应系统组成的单向耦合的动力学方程组为:

式中: E为一个矩阵,它是确定响应系统与驱动系统变量差的线性组合; a为耦合强度或者回馈系数,其中 e=X-Y称之为误差系统,当 e趋向于0时,称系统实现完全的单向耦合同步;驱动系统为 F( X),响应系统为 F( Y, X)。

通常混沌同步是指两个混沌系统同步,2003年Voss^{[ 20]}提出了消散型耦合同步,实现了混沌时间序列与混沌系统的同步,这种实现扩大了混沌同步的运用范围。混沌时间序列 x_n可看作 → R的映射过程,其中 X_n为离散驱动系统 X_n+1=F( X_n)在 n时刻的状态, D_x是高维向量 X_n的维度,映射关系为:

如果将 x_n作为驱动系统的输出,那么离散响应系统表示为:

式中: Y_n是 n时刻的混沌状态; Y_n+1是 n+1时刻的混沌状态。

选择合适的参数即可实现混沌时间序列与响应系统的单向耦合同步。

假设存在混沌时间序列 x_n( n=1,2,…, N),可采用多种方法找到同步响应系统,其中最常用的方法是首先采用相空间重构和神经网络等技术拟合混沌预测模型。然后依据预测模型建立混沌系统模型,最后确定响应系统。

首先,依据对混沌时间序列采用时间延迟法重构相空间,其中:

式中: D表示嵌入维。

然后,采用BP、RBF或SVM神经网络拟合混沌预测模型:

采用混沌预测模型 f( x)建立混沌系统如式(7)所示。

而混沌系统的输出 y_n+1 =f( y_n)=h(F( y_n)),即混沌状态的第一个分量。

消散型耦合混沌同步的响应系统形式^{[ 20]}如下:

式中: y_n是混沌系统 F( y)在 n时刻的状态; x_n是输入的混沌时间序列; y_n是同步系统的输出。

由式(8)可知,消散型混沌同步是通过耦合参数 K使输入 x_n与同步系统输出 y_n之间的差值逐渐减小,最终实现混沌同步。

耦合参数 K可通过混沌时间序列 x(驱动信号)与响应系统的输出 y(响应信号)的相关系数^{[ 20]}或误差的最小均方差^{[ 12]}来确定。 x、 y的相关系数越接近1,说明两个信号越相似,等于1时达到完全同步,因此 x与 y相关系数为最大值时对应的 K即为同步参数 K;当 x和 y的误差的最小均方差达到最小值时,说明此时 x与 y的同步性最好,此时的 K即为耦合参数 K,也可称为同步参数。

假设实际需要处理的信号如式(9)所示:

式中: c_n为混沌背景; s_n为需要检测的微弱信号; η_n为白噪声。

传统检测算法中为了简化模型,忽略 η_n。为提高检测算法的实用性能,本文不简化模型。

混沌背景下的微弱信号检测主要分为三个步骤:

步骤1 对不含微弱信号的混沌信号 c_n确定嵌入维 m和时间延迟 τ,完成混沌相空间重构。其中 c_n= , n=( m-1) τ+1,…, N-τ作为训练输入集合,T表示矩阵转置操作, z_n=c_n, n=mτ+1,…, N,作为训练输出集合,相空间重构完成了高维混沌状态的还原。实际应用中混沌时间序列常存在微弱噪声,但微弱噪声对混沌信号的混沌特性破坏极小,可进行数据预处理(降噪处理等^{[ 12]})后,再进行上述的相空间重构^{[ 7]}。另外,对一些混沌特性不明显的时间序列,首先对时间序列进行预处理,然后判定时间序列的混沌特性,可通过分数维和最大李雅普洛夫指数两个参数来说明。分数维采用G-P法确定,最大李雅普洛夫指数采用小数据量法确定,对满足混沌特性的时间序列再进行上文所述的相空间重构。为了便于消散型同步实现,选择时间延迟 τ=1,依据嵌入窗理论^{[ 4]},时间延迟的减小可通过嵌入维的增大来弥补,一般当 D≥2 m时即可取得好的效果^{[ 20]}。

步骤2 运用神经网络拟合混沌预测模型 f( x)。通常选择BP、RBF、SVM等神经网络。本文选择RBF神经网络,RBF理论上具有能实现任意函数的模拟,避免局部极小值问题,结构简单等优点。高斯基函数是RBF神经网络中的经典基函数,采用该基函数具有普遍性。

RBF神经网络的表达式为:

式中: w_i是权重; x为输入; φ(‖ x-x_i‖)=exp( )为高斯基函数; w_i和 x_i需要通过已知的输入输出训练集合进行训练来确定。将步骤1中的 c_n作为训练输入, z_n作为训练输出,训练得到混沌预测模型 f( x)。

本文在上述基础上添加消散型同步^{[ 20]},混沌同步减少了初始条件对预测混沌系统的影响,考虑了微弱信号与噪声对预测混沌系统的影响,提高了系统的实用性,其中消散型耦合同步系统的输出如式(11)所示:

式中: K为耦合参数; F( Y)为混沌系统; F( Y)由混沌预测模型 f( y)构建,如式(7)所示, Y_n为混沌系统 n时刻的状态, Y_n={ y( n), y( n-1),…, y( n-D+1)}^T, x=h( x)是混沌向量在混沌时间序列的映射。当存在某一时刻 N₁,满足 x( n) -y( n) =0, n≥ N₁,此时序列 x( n)与 F( x)完全同步。若 x中包含噪声和微弱信号, x与混沌 F( Y)系统将不能完全同步,即同步误差 x( n) -y( n)≠0,噪声和微弱信号的特征会保留在同步误差中,可使用该同步差别 x( n) -y( n)实现微弱信号的检测,因此实际处理的对象为 err( n),如式(12)所示:

步骤3 微弱信号的检测。混沌背景下的噪声和信号的特征就会保留在同步误差 x( n) -y( n)中,因此对误差 err( n)进行相应的处理就能实现微弱信号的检测。

由式(13)可知,通过同步系统处理后的同步误差主要包含噪声和微弱信号,实质上是将混沌背景下的微弱信号检测问题转化为从同步误差中检测微弱信号的问题。通过消散型同步抑制混沌时间序列,突显微弱信号。若存在微弱周期信号,则采用FFT处理对 err( n)进行频谱分析,观察频谱图对应频率处是否存在突起等特征。如果存在瞬态信号,则可直接对误差值进行幅值分析,但并不仅限于频谱、幅度分析,还可以采用自相关、多重相关、双谱估计等微弱信号检测理论。但是即使同步系统参数非常精确,误差中仍会存在残余混沌信号,当微弱信号非常小,特别是当残余混沌信号和噪声、微弱信号在同一数量级时,微弱信号将不能被检测,本方法检测微弱信号的性能在3.4节进行分析和讨论。

(1)本文在混沌预测模型微弱信号检测模型的基础上,提出了基于消散型同步的混沌背景下微弱周期信号的检测方法,采用经典的Rossler混沌系统作为实验对象,分析了算法的可行性、噪声对微弱信号检测性能的影响、微弱信号频率对性能的影响等。通过实际Coullet混沌序列对方法进行了通用性分析。

(2)消散型混沌同步是混沌时间序列与混沌系统的同步,同步的引入能够分析噪声、微弱信号对混沌系统后期状态的影响,不再像单步混沌预测系统中那样忽略了两者的影响,增强了方法的实用性。该方法的预测模型不需要大量的训练,经分析该方法对所检测微弱信号的频率不敏感;在误差的频谱图中,在对应信号频率处存在较大的幅度,而非检测频率处频谱幅度小,这是基于混沌同步模型的检测方法的优点。存在一定噪声( SNR=-5 dB)的情况下,经实验验证表明该方法能检测出信杂比 SCR>-110 dB的微弱信号。通过实际Coullet混沌序列进行了方法的通用性分析,结果表明该方法能在其他混沌系统中完成微弱信号检测,具有较好的通用性。

(3)为了避免噪声和混沌杂波两者对微弱信号检测影响的重叠,定义了信杂比 SCR和信噪比 SNR,经分析可知,噪声对微弱信号检测存在一定的影响。当信杂比 SCR较高时( SCR>-50 dB),若 SNR≥0 dB,即微弱信号的能量大于等于噪声能量时,噪声对方法的检测性能影响很小,可以忽略噪声的影响,但若 SNR<-10 dB,即微弱信号的能量远远大于噪声能量时,不能检测出微弱信号,因此在实际的微弱信号检测中不能忽视噪声的影响。