通过AIC,信号的采样和压缩可以真正同时低速进行,使采样和计算成本大大降低。该理论指出了将模拟信号直接采样压缩为数字形式的有效途径,具有直接信息采样特性。其设计框架^{[ 7]}如图1所示。

图1

Fig.1

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	图1 伪随机调制AIC设计方案Fig.1 Structure of AIC based on pseudo-random modulator

直接信息采样系统由三部分组成:调制器、积分器以及常规采样单元。模拟信号首先被一个 N Hz(2倍的信号Nyquist频率)的伪随机最大长度PN序列 p_c 调制,其取值为 ±1,即

接着对调制后的信号进行低通滤波,这里的低通滤波简化为一个积分过程,完成1/ M(s)时间内调制信号的累加。调制的目的在于扩展频谱以保证低通滤波后信息的完整性。最后利用常规的ADC器件以速率 M进行采样、量化后得到信息观测值序列 y[ m]。AIC以固定速率 M进行采样,这种采样方式没有充分利用信号本身蕴含的先验信息,使其采集效率和重构性能都有待提高,由此引出本文的主要研究内容。

在能量准则下,即以能量来衡量信号中蕴含信息的重要性,非均匀信息采集(NUIA)依据输入信号的幅度值控制采集速率,幅度值越接近前级限幅器的最大幅值,则采样速率越接近预设最大采样速率(如信号的Nyquist速率);反之,幅度值越接近0,则采样速率越接近预设最小采样速率(如10%的信号Nyquist速率)。其设计框架如图2所示。

图2

Fig.2

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	图2 NUIA原理框图Fig.2 Block diagram for NUIA

不妨在1 s内考察整个系统(当然也可以选择其他时长),现以离散时间表示信号,令:

式中: T₁ =1 /N为PN序列一个码元的持续时间,在这个时间间隔内PN序列取值为一个常数。先来考察积分器对信号的作用。这里,仍然假设模拟信号中所蕴含信息的速率是有限的,即信号在某个变换域上稀疏^{[ 2]},换句话说,信号应当能由有限的连续基或基字典元素线性组合表示。这里不妨先设信号在频率域稀疏,即:

式中: Ω为一个只包含 K个频率值的集合,满足:

式中: N为信号Nyquist频率的2倍。可将 表示成矩阵的形式:

式中: α为信号中所包含的信息,其中:

因为PN序列一个码元的持续时间为 T₁ =1 /N,在1 s内PN序列的 N个码元构成码片序列(Chipping sequence) ε₀, ε₁,…, ε_N-1,对信号的作用可写成矩阵形式 xaDx,其中:

接下来考察变速采样器的影响。信号观测值可表示为:

式中: T₂ 为第 m个采样点对应的积分区间长度,瞬时采样速率 随着信号幅值 A_n(即信号幅度的绝对值)线性变化:

式中:max 代表前级限幅器的最大幅值。特别地,当 A_n=0时, =M_min;当 A_n=max 时, =M_max。

低速采样器的作用可表示为一个 M×N的矩阵 H,每一行对应一个观测值,且每行元素值的平方和恰好为 N/ , 为第 m个观测值采集时刻的瞬时采样速率。当 能够整除 N时(即 T₁整除 T₂ ),式(8)中的积分可以分解为 N/ 个积分区间长度为 T₁的子积分,且在对应区间内 p_c 为一个常数。当 不能整除 N时,则说明存在某些对观测值需要“共享”PN序列的一个码元,例如:

图3

Fig.3

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	图3 采样矩阵稀疏结构图( M=333, N=1024)Fig.3 Sparse structure of sampling matrix

式中: H是一个非均匀采样矩阵( M=4, N=8)。文献[7]给出的均匀采样矩阵实际上可以视作是上述矩阵的一种特例。图3为一组均匀、非均匀采样矩阵稀疏结构的对照,非零元素以点的形式描绘出来。由采样矩阵的物理意义可知,图3(b)中斜率大的部分相比斜率小的部分对应的采样速率更大。

构造感知矩阵 Φ=HDΨ,信号观测值可表示为矩阵形式:

每次迭代时,贪婪追踪算法从信号中选取与感知矩阵最相关的一个或一组原子作为支撑集,然后,重建信号并计算与原信号的残差,通过残差选取新的原子来更新支撑集,从而重构信号。以 表示 α的支持集大小,即:

若 α为稀疏信号, Λ=supp ,则:

式中:矩阵 H由信号瞬时采样速率 M_p决定,其中携带了信号的先验信息,由式(9)可知,在能量准则下,信号越重要,瞬时采样速率越大,反之亦然。考虑用 M_p来估计 x在变换域上的支撑集:

在VRMP重构算法中,选取 Ψ^T M_p中最大的 K/2 ( · 为向上取整运算)个构成先验支撑集 与前若干个最大投影系数对应的指标集 相并,使得每次迭代扩充的原子总数 = 均为 K,算法具体步骤如下:

输入:观测值向量 y_M×1 ,感知矩阵 Φ_M×N,信号瞬时采样速率 M_p。

输出:重构信号

Step1初始化:初始残差 r₁= y,求信号的先验支撑估计,重构信息 =0,信号重构的迭代序数初始值 n=1;计算 Ψ^T M_p获取先验支撑 。

Step2更新投影系数 v_n= Φr_n,获取其前若干个大元素对应的指标集 ,扩充先验支撑集 Ω= ∪ ,并使之满足 =K,更新信号重构支撑集 Λ=Ω∪supp 。

Step3通过最小二乘法计算信号估计: b = y,其中 Φ^†= Φ^T, b =0;然后通过剪枝获得信号逼近值: = , 表示经 n次迭代后得到的重构信息。

Step4更新残差 r_n= y-Φ 。

Step5若 > 则停止迭代,利用得到的支撑集进行最终的信号重建,并输出 Λ=Ψα;否则令 n=n+1转Step 2完成下一次重构迭代。

信号的重构可视为一个欠定稀疏方程组 y=HDx的求解问题,正是由于 H的不均匀特性使得现有的典型求解算法如OMP、SP、BP等对此类问题的求解性能较差。 H对信号的作用类似于一种能量的均衡,因为信号能量大时采样速率也大,众多采样点分摊了信号能量,信号能量小时采样速率低,积分器累加了这些能量。于是信号观测点之间能量差异被缩小,进而使得重构时投影系数(即 v_n= Φr_n)差异缩小。而类似于OMP、SP的贪婪算法正是基于搜索最大投影系数进行重构的,因此将其应用于非均匀采样重构性能不理想。

从算法流程来看,VRMP算法实际上是对SP算法的改进推广和应用。每次迭代之初,两种算法均是扩充总数为 K的原子,不同的是,SP扩充的是 K个最大相关系数的索引,VRMP扩充的 K个原子中包括了 K/2 个先验支撑。具体来说,VRMP考虑依据 H中携带的信号重要性先验信息判断出感知矩阵中与重要的信号段最相关的 K/2 列,求得残差后,将残差与感知矩阵做相关运算,提取相关系数前若干个最大值对应的感知矩阵中的列,并与 H的先验支撑求并集以扩充重构子阵。在原子剔除阶段,VRMP与SP一致,均保留重构信号前 K个最大的元素,其余元素赋0作为信息的估计,进而剔除原子扩充阶段可能引入的冗余原子。迭代停止条件 > 能确保算法的重构相对残差至少收敛到一个局部最小点。由此循环迭代保证重要信息的重构质量。

定理1 (有效性)若信号 x在变换域 Ψ上稀疏度为 K,其观测值满足式(11),若感知矩阵 Φ满足参数为 的RIP性质^{[ 12, 13]},且 δ_{3 K}<0.205,则VRMP算法能够保证由 y经有限次迭代重构 x,即算法是收敛的。定理收敛基于以下公理。

公理1 若信号 x和感知矩阵 Φ满足上述RIP性质,非均匀采样的瞬时采样速率 M_p由式(9)确定,可重写作:

式中: C和 M_min为常数,则VRMP算法能够等价于一个引入先验支撑 的SP算法。

根据式(9)(15)描述的顺时采样速率 M_p与信号幅度 A_n的关系,可利用式(14)估计信号的支撑集。然而,目前仅能以公理形式给出且利用实验验证 对 x在变换域上的支撑集估计的正确性,而并不能给出理论上的证明。因此VRMP算法的有效性可由SP的有效性定理(文献[10]定理1及评论3)保障。

定理2 (可靠性)假设条件与定理1相同,并假定观测信号被噪声污染, y=Φα+e,噪声 e能量为 σ²。若感知矩阵 Φ满足 δ_{3 K}<0.083的RIP特性,那么VRMP算法重构信号误差满足:

该定理也依赖于公理1所述VRMP与SP的关系,证明详见文献[10]定理9。

另外,前期研究已经给出了依据感知矩阵RIP参数判断信号稀疏度的分治试探方法^{[ 14]},逆向运用此判据则可利用稀疏度已知的信号来试探出感知矩阵的RIP参数 δ_K。