电空制动系统的信号流和单轮物理模型如图1所示。图中, 信号流包括制动微制动控制单元(MBCU)、电空阀、中继阀和基础制动装置。首先, MBCU根据制动减速度参考值 列车质量信号 制动缸压力信号 速度信号 计算所需制动力对应的电信号 。电空阀将电信号转化为空气压力信号 , 而中继阀具有流量放大的功能, 从而使制动缸内的压力 迅速达到 基础制动装置包括制动缸、制动闸瓦, 是产生最终制动力的实际装置。闸瓦作用在车轮上的压力为 车轮与闸瓦之间的摩擦因数为 根据列车车轮与轨道之间的力矩平衡原理, 实际制动力

图1

Fig.1

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	图1 电空制动系统示意图Fig.1 Electro-pneumatic brake system diagram

列车所需制动力计算公式为^[13]:

式中: 为理想的制动力; 为比例系数; 为理想的闸瓦摩擦因数; 为制动缸内标准压强。列车实际制动力计算公式为:

式中: 为实际的制动力; 为实际的闸瓦摩擦因数; 为制动缸内实际的压强。

制动缸内压强的动态变化过程为^{[12, 13]}:

式中: 为制动缸时间常数; 为制动系统延时。

在制动系统中, 引起该延时的因素很多:压力空气的传播速度, MBCU算法运算和分配制动减速度的时间, 电空阀、中继阀的响应时间等^{[4, 12]}。

列车制动过程中, 闸瓦摩擦因数的大小通常与列车运行速度有关, 其大小是速度的非线性函数, 可以由指数形式表示:

式中: 和 为未知正常数, 其值可以通过实验确定, 文献[4]中给出的具体表达式为:

实际制动控制中, 理想的闸瓦摩擦系数设计值为

基于上述分析, 制动系统非线性数学模型为:

式中: 为列车运行速度; 为实际闸瓦摩擦因数与理想摩擦因数之间的比值, 可表示为 为制动系统延时; 为制动缸的时间常数; 描述制动缸压力的状态变量;

图2

Fig.2

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	图2 控制系统示意图Fig.2 Control System Diagram

为列车质量; 为控制器输出, 表示列车目标制动减速度; 表示制动过程中列车受到的线路阻力, 具有很强的随机性, 是列车速度的有界函数^{[14, 15]}; 为有界随机扰动, 描述控制信号受到的扰动。根据模型(6), 制动控制系统原理图如图2所示。图2中, 表示积分器, 为Laplace算子。城轨车辆均配备速度传感器, 压力传感器和空气弹簧, 因此列车速度、压力信号和列车质量均可以直接测量得到, 所以系统(6)的状态是可测的。

列车制动控制器设计的思想是使列车实际的运行速度追踪参考速度曲线, 从而使速度追踪误差、加速度误差均收敛于原点附近的邻域内, 进而提高制动系统精度和行车的安全性。

假设1 参考速度信号 为连续有界的, 即 其中 为一确定常数, 其一阶导数(参考制动减速度) 存在且为一定值。

假设2 列车的运行速度、制动缸压力信号是有界的, 则式(6)中状态变量 是有界的; 令制动初速度为 为最大制动减速度值, 为总制动时间, 则上述变量满足:

定义速度追踪误差为 那么误差方程为:

制动控制器设计目标为:设计状态反馈控制器 , 使得误差系统对有界扰动为输入状态稳定(ISS), 即追踪误差收敛于原点附近的邻域内。

定义(7)中第一个方程为无延时子系统, 为该子系统的虚拟输入。

Step1 为了使无延时子系统稳定, 选择Lyapunov函数 , 则 的期望值为:

式中: 为任意正数。

令 则误差系统(7)为:

式中:

基于Lyapunov函数 和虚拟输入期望值 可以得到系统(9)的正定函数 ^[17]:

Step2 由反推控制思想, 实际控制输入 应当使得状态变量 收敛到原点附近邻域内。 可由两个Krasovskii泛函算子 和 来表达:

式中: 为负常数。

引理1 针对非线性输入时滞系统(9), 设计控制器

则Krasovskii泛函算子 指数收敛至原点附近的邻域内。

证明 Krasovskii泛函算子 的导数

将控制器和 代入到 的导数中可得:

由于 是有界的且 所以 指数收敛到原点附近的邻域内。证毕。

提出可镇定条件引理2和延时假设3。

引理2 针对误差系统(9), 列车制动速度 且 其中 表示制动初速度, 则存在正常数 和

式中: 满足下列不等式:

式中: 和 为正常数, 且满足

证明 可以表示为:

因此, 根据式(15)中定义, 可得:

式中:

进一步由几何不等式可得:

根据式(15)中 的定义可得:

上述引理得证。

假设3 制动系统时滞 与常数 满足如下不等式:

假设1和假设2是控制系统的一般假设, 假设3为对系统时滞的约束。

定理1 当城轨列车制动控制系统满足假设1~3, 根据误差系统(9)设计制动控制器:

式中: 为制动时间; 如式(8)所示, 其中, 为列车运行速度; 则误差系统(9)对于有界扰动 是输入状态稳定的(ISS)。

首先, 引入Krasovskii泛函算子

定义 那么由Cauchy-Schwartz不等式得:

由几何不等式(18)可进一步表示为:

那么, 基于假设3和式(18), 的导数满足:

选取参数 和 如下:

注1 根据假设3, 可得 及

基于Krasovskii泛函算子, 引入Lyapunov-Krasovskii泛函如下:

显然, 根据文献[6, 18], 泛函 满足Lyapunov-Krasovskii定理对于初始条件的要求。

基于引理2和式(21)中参数定义可得:

式中:

根据参数(21)和 的导数可得:

进一步, 由式(26)可得下列不等式:

所以, 最终Lyapunov-Krasovskii泛函 的导数为:

式中:

通过交换积分次序, 可以得到下列不等式:

再由几何不等式 可得存在 满足:

那么根据式(32), 可得误差系统(9)在闭环控制器(16)下, 对于有界扰动 为输入状态稳定的(ISS)^[17], 即系统的追踪误差收敛到原点附近的邻域内。从而, 在保证制动系统稳定性的同时提高了系统的控制精度。

在随机扰动和控制器的作用下, 城轨列车追踪误差曲线、实际制动减速度曲线见图5、图6。

图5

Fig.5

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	图5 误差曲线(常用制动)Fig.5 Error Curves(Common Brake)

图5显示了鲁棒反推控制器克服了系统中时滞、非线性和随机扰动的影响, 获得了良好的追踪效果。在停车点附近, 其速度误差小于0.2 m/s, 加速度误差接近于0。图6显示实际制动减速度最终收敛到-0.45 m/s², 表明制动系统获得了很高的制动减速度精度。整个制动过程中, 制动减速度振荡幅度很小, 符合最大制动减速度的约束, 且牵引单元不工作, 从而保证了列车运行的平稳性^[16]。

图6

Fig.6

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	图6 制动减速度曲线(常用制动)Fig.6 Brake Deceleration Curves(Common Brake)

由于系统存在输入延时, 制动单元可以采取基于Smith预估器的PID控制算法进行控制^[4], 其追踪误差的比较曲线如图7所示。

图7

Fig.7

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	图7 误差曲线(PID)Fig.7 Tracking Curves (PID)

图7表示, 制动减速度方面PID控制器的快速性更好。但是, 由于PID控制器只能实现对制动减速度的追踪控制, 因此其速度追踪误差随时间逐渐增大, 整体制动性能不高。另外, 基于Smith预估器的控制器对制动系统时滞更为敏感。当系统的实际时滞偏离设计值时, 系统的品质会严重下降。图8为系统实际时滞τ =0.5 s情况下, 系统的制动减速度误差曲线变化情况的比较。显然, 基于Krasovskii泛函的制动控制器对系统延时具有更好的鲁棒性, 且控制系统的品质更为稳定。

图8

Fig.8

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	图8 制动减速度误差曲线(τ =0.5 s)Fig.8 Brake Deceleration Error Curves(τ =0.5 s)

在实际列车运行过程中, 可能会遇到理想制动曲线初速度小于实际制动初始速度的紧急情况。这种条件下, 采用基于Smith预估器设计的PID控制策略不能充分保障行车安全。本文中的算法可以克服制动初始状态的偏差, 使列车实际运行速度追踪理想的速度曲线。仿真中, 参考曲线制动初始速度为17 m/s。图9为紧急情况下追踪的误差曲线, 图10为制动指令曲线和实际制动减速度曲线。

图9

Fig.9

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	图9 误差曲线(紧急制动)Fig.9 Error Curves(Emergency Brake)

图10

Fig.10

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	图10 制动减速度曲线(紧急制动)Fig.10 Brake Deceleration Curves(Emergency Brake)

图9表示反推制动控制器在轮轨黏着允许的前提下, 可以克服制动初速度不一致的影响, 并且获得较好的追踪效果。在停车点附近, 其速度追踪误差小于0.25 m/s, 加速度追踪误差接近于0。紧急制动工况下, 其制动力要大于常用制动工况下的制动力。图10中, 实际制动减速度不超过-1 m/s², 且收敛于期望值。整个制动过程中, 制动控制器发出的控制指令不超过最大制动减速度的限制, 且牵引单元不工作, 保证了列车运行的平稳性^[16]。制动指令曲线存在0.3 s的输入时滞。从而说明反推控制器消除了输入时滞对系统稳定性造成的影响。