在柔性墩台的计算中, 通常将柔性墩视为下端固定、上端铰接的超静定梁进行分析, 桩基础的内力则常采用弹性地基梁法求解。由于水平力的作用, 墩身的内力计算按照墩顶及墩底均为弹性约束考虑, 其水平力在各墩上的分配问题通常采用集成刚度法计算。集成刚度法在计算时需要根据不同条件进行查表取值, 计算量非常大, 计算过程十分繁琐, 增大了误差出现的几率^{[1, 2]}。

近些年对于柔性墩台施工技术、病害防治的研究较多, 但是对于内力计算方法的探索却极为有限^[3]。国内方面, 朱彦鹏等^[4]采用幂级数法求解了桩的内力及变形的具体计算式; 张耀辉等^[5]根据弹性支座的特性提出将整个桥按超静定体系进行分析计算; 郗蔚东^[6]采用位移法对墩台桩基础进行了有限元法的计算; 吴宜凤等^[7]提出了二维动态规划法计算桩柱式墩台的内力, 取得了良好的效果; 马缤辉等^[8]推导了在水平力作用下的弹性地基梁位移及内力的解析解; 周绍烈^[9]提出采用直接刚度法进行水平力的计算, 该方法便于计算机编程; 徐玉中等^[10]提出采用位置传导法计算梁桥墩台的水平力。另外, 还有众多学者对内力计算方法进行探索和尝试^{[11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]}。国外方面, Poulos^{[18, 19]}采用相互作用系数方法分析水平荷载作用下的群桩问题; Pak^[20]基于虚拟桩模型建立了均质地基中横向受荷桩的求解方法。这些研究虽然通过实验数据、数值分析等方法简化了计算步骤, 但是分析过程需要大量的数理知识, 不利于实际工程中的应用。

本文以基础工程^[1]中的文克尔假定将桩墩视为一整体考虑, 利用支座、墩身和基桩的基本微分方程, 建立常微分方程组。同时将整联墩台整体分析, 通过平衡条件、边界条件和协调条件, 建立墩台的常微分方程组。最后利用Maple软件求出各墩台的横向位移 的解析式并生成图形。此方法计算方便, 且精度和效率均较高, 作为一种新方法, 可以成为柔性墩台内力计算方法的有效补充。

结合参考文献[2]中的算例一, 应用Maple中求解微分方程组的方法对柔性墩台的内力进行计算。

已知一连续桥面简支梁桥, 0号台与5号台为活动支座, 其余各墩均为板式橡胶支座。下部结构采用双柱式圆柱墩, 直径为1.5 m, 钻孔桩直径为1.8 m, 长为30 m。墩柱与桩均为C25混凝土, Ⅱ 级钢筋, 两柱中心距为6.10 m。当地月平均最高温度为35 ℃, 月平均最低温度为0 ℃。1号墩墩身长8 m, 2、3号墩墩身长9 m, 4号墩墩身长7 m。施工温度为15 ℃~25 ℃。桥梁立面及横截面布置如图5所示。

图5

Fig.5

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	图5 桥梁布置图Fig.5 Arrangement diagram of bridge

经过Maple计算, 得到各墩台在混凝土收缩、徐变以及温度影响力作用下的各墩台的横向位移、剪力和弯矩的函数解析式, 其变化曲线见图6~图8。

图6

Fig.6

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	图6 各墩台横向位移变化曲线Fig.6 Lateral displacement changing curve of each pier

图7

Fig.7

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	图7 各墩台剪力变化曲线Fig.7 Shearing force changing curve of each pier

图8

Fig.8

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	图8 各墩台弯矩变化曲线图Fig.8 Bending moment changing curve of each pier

将微分方程组法得到的各墩台计算结果与算例结果进行比较, 其对比结果见表1。通过比较可以看出, 各墩的水平力结果分别相差了0.3%、0.3%、0.4%、0.4%, 各墩的弯矩结果分别相差了0.5%、0.4%、0.6%、0.2%。两种方法得出的结果相差不大, 可以说明用微分方程组法求解柔性墩台的内力是可行的, 同时由于采用了Maple计算绘图软件, 利用其强大的求解微分方程组的计算功能, 精简了计算步骤, 使墩台的内力计算更加简便快捷, 降低了由于查表计算产生的误差。此外, 通过计算得到的墩台内力解析式, 可求得任意深度下墩台的剪力、弯矩以及横向位移, 更加方便于实际工程中应用, 因此可以在柔性墩台内力计算中推广使用。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 计算结果对比 Table 1 Comparison of calculation result 方法 1号墩 2号墩 3号墩 4号墩 水平力(墩顶) /kN 弯矩(桩顶) /(kN· m) 水平力(墩顶) /kN 弯矩(桩顶) /(kN· m) 水平力(墩顶) /kN 弯矩(桩顶) /(kN· m) 水平力(墩顶) /kN 弯矩(桩顶) /(kN· m) 算例(集成刚度法) 288.173 2305.384 90.219 811.971 -74.896 -674.064 -303.499 -2124.493 微分方程组法 287.291 2294.120 89.923 808.655 -75.202 -678.216 -304.583 -2119.436

表1 计算结果对比 Table 1 Comparison of calculation result

(1)运用微分方程组法计算得到的位移、弯矩和剪力的解析式和图形更加直观、准确, 同时计算过程中省略了查表手算等过程, 与集成刚度法相比更为简便快捷。

(2)经过计算得到的解析解与算例中的数值解相比, 更为精确。通过解析式还可得到任意深度下的剪力、弯矩和横向位移。

(3)通过将单个墩台和整联墩台分别作为一个整体考虑, 根据变形协调和力的平衡建立边界条件, 可以得到整个桥梁各墩台支座、墩柱和基桩以及墩台与墩台之间的微分关系, 因此在计算时确定正确的边界条件是关键。

(4)本文在计算时虽然没有计入制动力, 但通过计算结果的比较, 验证了本文方法在柔性墩台内力计算中应用的可行性, 具有一定的推广意义。