灰数是已知大概范围而不知其确切数值的数。它是灰色系统的基本单元。

定义1 灰数^[1]:指在某一个区间或某个一般的数集内取值不确定的数, 通常用 为白数。

灰数可以通过人们对它的认识加以白化。通常, 借助白化权函数^[1]来描述对一个灰数在其取值范围内不同数值的“ 偏爱” 程度。灰色白化权函数反映了人们在主观上掌握的该灰数的信息, 而灰数的灰度则是对该灰数的灰程度的测定, 反映其信息量大小。邓聚龙^[1]给出了典型白化权函数灰数灰度:

基于灰区间长度

以上给出的灰度定义皆存在当灰区间长度 分别表示灰数的熵和最大熵。但该定义要求灰数在区间内的取值是离散的, 对于连续型取值缺乏处理能力。

灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法, 其基本思想是通过灰色关联度来比较参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度。灰关联度越大, 则序列间发展方向和速率越接近, 关系越紧密。灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个, 对无规律数据同样适用, 不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。

按照相似性度量原理的不同, 目前灰关联度可分为3类:基于距离的方法、基于斜率的方法和基于面积的方法。其中, 邓氏灰关联度和广义灰关联度是应用较为广泛的两种灰关联度计算模型。

定义2 邓氏灰关联度^[1]:设 为比较序列, 序列长度相同。则邓氏灰关联度可表示为:

式中:

邓氏灰关联度满足灰关联四公理, 两级最大差与最小差充分利用了多个比较序列的信息, 分辨系数的选择能够削弱比较序列中异常值对关联空间的影响, 使关联度更好地体现出系统的整体性。

广义灰关联度分为灰色绝对关联度和灰色相对关联度, 这两种算法的区别在于通过不同的数据变换方法, 分别从相似性和接近性两个角度衡量数据序列。灰色绝对关联度采用的是始点零化算子, 而灰色相对关联度采用的是初值化算子。

定义3 广义灰色关联度^[11]:设序列 变换后生成的像序列, 则广义灰色关联度定义为:

式中:|s|=| x(k)d+ x(n)d|; |s_i-s_j|=| ( (k)- (k))+ ( (n)- (n))|。

灰色绝对关联度采用两曲线间相交面积的大小作为序列相似性的度量标准。曲线越相似, 始点零化像越接近, 从而相交面积越小, 关联度越大。

灰色关联度是灰色关联分析的基础, 然而无论是邓氏灰色关联度还是广义灰色关联度, 均对区间序列数据的分布特征考虑不足。当序列本身满足一定的统计特征时, 通过简单的极值或折线段面积计算将具有比较大的误差, 直接影响到关联度取值。

灰色绝对关联度是灰色关联分析的基础, 然而邓氏灰关联度和广义灰关联度均存在以下问题:①序列 长度必须相等, 否则必须进行补齐或者删除较长序列的过剩数据, 增加了系统的不确定性, 直接影响到关联度取值; ②灰色关联度实际是针对白数的操作, 当序列本身具有不确定性, 或序列元素直接就是灰数时, 该关联度将无法处理。

基于以上分析, 结合正态灰数性质, 本文提出一种基于正态灰数的灰关联度, 该关联度以正态随机分布为核心, 通过计算两个正态分布相交面积得到关联度。两个正态分布之间的相交情况如图2所示, 阴影部分面积反映了彼此的相似情况。

图2

Fig.2

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	图2 两个正态分布的相似情况Fig.2 Similar situation between normal distributions

设 相交面积为:

式中:

由两分布曲线相交, 故 解得:

由正态分布的3σ 规则可知, 有99.74%的数值落在区间 的分布有下面3种情况:

(1)

(2)若存在 中(见图2(a)), 则:

式中:

(3)若 中(见图2(b)(c)), 则:

式中:

考虑到相似度的规范性, 需对 做归一化处理。将归一化处理后的面积作为两个正态分布的相似度。

定义6 正态灰数关联度:给定正态灰数 则两者之间的正态灰数关联度为:

式中: 间相交面积。

正态灰数关联度简称正态灰关联度。正态灰数关联度更好地考虑了数据在区间内的变化情况, 体现了其概率分布特性, 为基于正态灰数的灰关联分析打下了坚实基础。

灰色聚类是灰关联分析的核心内容, 通过灰数关联矩阵或灰数的白化权函数将观测指标或观测对象划分成若干个可定义类别。目前, 灰色聚类仅支持小样本数据, 而且聚类过程需要人工进行参与, 增加了算法的复杂性与不确定性。基于此分析, 本文提出了一种多粒度无监督快速灰色聚类算法。算法以正态灰关联度为核心, 通过构建灰关联矩阵, 采用改进的k-means方法实现无监督动态聚类。

k-means是一种效率较高的动态聚类算法, 然而传统k-means算法存在着需要人工指定聚类个数, 容易陷入局部最优解的缺陷。基于此, 本文对k-means算法进行了改进。

算法基于如下分析:在聚类时, 将特征最为相似的样本数据划分在同一类中, 而它们在空间中的相互关系可以按照某些范数度量的大小关系来表征。通过逐步增加层数(即聚类数), 层间类与类相互关系随着层数的增加不断变化, 可以某种准则来刻画这种变化, 一旦达到要求, 即表示聚类完成。本文用样本标准差 时, 聚类完成。

基于正态灰关联矩阵, 可构建基于灰关联度的无监督快速灰色聚类算法。

算法1 基于正态灰关联度的无监督快速灰聚类

输入:给定序列

为类别编号

算法步骤:

(1)计算序列初值像与始点零化像//排除序列数据量纲不一致、初始值不一致带来的影响。

(2)对序列进行时间粒度为

(3)对序列进行正态分布假设检测。若不满足, 则进行正态分布转换。

(4)对 进行正态灰序列转换(计算划分序列的期望与方差), 得到正态灰序列:

(5)计算正态灰序列 间的距离:

得到正态灰关联矩阵 为聚类编号, 初始为0。

(6)提取

(7)计算阈值 //聚类结束控制条件。

(8)初始类别K=1, v=0//v为循环控制变量。

(9)Do

①构建中心类别表 置为0;

②设定临时循环控制变量

③当 时, 执行以下循环://当聚类稳定后, 各类的标准差将收敛为一稳定值。

a)

b)计算 中各类别的距离, 将其归并到距离最小的类别中去;

c)根据加权平均修正TC中各类别的中心距离;

d)计算

④

时, 各类的聚合程度已经比较好, 聚类结束。

(10)根据C中sim, 对应更新R中Clusterid。

(11)设置 降序方式, 进行如下处理:

①依次取 中最相似样本集如下:

越大, 则相似度越高;

② //每一簇最相似样本集;

③

(12)返回

经过算法1聚类处理, 得到序列在灰关联度下的等价簇, 相同 即为相似序列。

算法1采用正态灰关联度作为序列相似度计算基础, 对序列的长度、序列取值都无严格要求, 适用于大样本、多粒度的灰关联分析。