假设原信号 在变换域 是K-项稀疏的, 对信号 的变换域进行采样

式中: 是稀疏的, 在远远低于乃奎斯特采样频率的采样条件下, 能够以高概率从采样信号中精确恢复原信号。

原信号的稀疏性是压缩感知对信号的唯一要求。压缩感知信号恢复问题转换成寻找信号的一个最稀疏解问题^[3]。 则压缩感知信号恢复问题转化成:

但是求解最小0范数是一个NP-hard问题, 经过几年的研究, 学者提出了许多恢复算法。最著名的是基追踪算法(Basis pursuit, BP)^[1]。BP算法将0范数凸优化的问题放宽到1范数, 通过1范数的凸优化问题的解代替0范数优化问题的解:

虽然BP算法恢复效果很好, 但是算法计算复杂度高, 信号恢复时间长, 因此之后又提出了许多以贪婪算法为基础的迭代算法。

图像压缩感知中, Gan^[5]首先提出图像分块压缩感知BCS(Block-Base CS)。BCS主要思想是将原始图像分为较多尺寸相同的小图像块, 对这些图像块采用相同的观测矩阵, 同时, 在信号恢复端分别对这些图像块进行恢复, 组合成整幅图像。

图像 进行测量, 得到测量值:

式中: 是各个子图像块的采样数。这种分块处理, 对整个图像相当于等价的采样矩阵:

整个图像观测值

各个恢复图像块 相对于原有的图像压缩感知算法, BCS算法解决了图像重建过程中观测矩阵所需内存消耗较大的问题, 大大提高了图像压缩感知信号恢复的速度。同时接收端不用等所有采样数据传输完成, 方便对信号进行实时处理。

BCS算法虽然解决了图像压缩感知信号恢复占用内存巨大、恢复速度缓慢的问题, 但是由于分块操作时的恢复图像有明显的块效应。针对图像块效应, Fowler等^[6]基于维纳滤波器的PL算法提出了BCS-SPL算法。

图像信号的恢复采用PL算法结合维纳滤波器对信号进行恢复, 同时去除因为分块产生的块效应。SPL算法处理过程如下^[6]:

Function x⁽ⁱ⁺¹⁾=SPL(x⁽ⁱ⁾, y, Φ _B, Ψ , λ )

=Wiener(x⁽ⁱ⁾)

For each block j

= + (y-Φ _B )

=Ψ

=Threshold( , λ )

=Ψ ^-1

For each block j

= + (y-Φ _B )

Fowler等^[7]之后还结合近几年的压缩感知算法对BCS-SPL算法做了进一步的改进, 并将BCS-SPL算法推广到图像编码器的设计^[8]以及视频压缩感知^{[9, 10]}。

光滑0范数(Smoothed L0, SL0)^{[11, 12]}是针对欠定系统 寻找最稀疏解的一种信号恢复算法, 主要应用于压缩感知信号恢复领域。SL0算法通过高斯函数近似表示L0范数

所以求信号最稀疏解转换成求解有约束最小化问题:

SL0算法采用最速下降法迭代求解最小化问题:

同时 每次循环之后衰减一次, 保证0范数估计函数光滑, 避免局部极值点。

传统BCS-SPL算法虽然采用了结合维纳滤波器的PL算法作为图像重建算法。但是, 由于低采样率条件下PL算法收敛速度慢, 导致图像重建迭代次数过多, 维纳滤波器作用于图像的次数多, 使得重建的图像容易变得模糊。而SL0算法本身采用最速下降法逼近全局解, 收敛速度非常快, 重建时间短。为了减少低采样率条件下图像重建算法迭代次数, 本文结合SL0算法的优点对BCS-SPL压缩感知恢复算法进行改进。

从SPL处理过程可以看出, PL算法是对图像变换域直接做阈值收缩, 发现SL0算法也是对图像变换域进行处理, 因此先采用SL0算法的最速下降法对图像变换域进行一次最小值逼近:

对用最速下降法逼近的最小值做阈值收缩处理:

同时, 由于增加了一次最速下降法的逼近过程, 在做阈值收缩时收缩系数需要做适当的变化。SL0算法是获取图像变换域中的最稀疏解, 因此每次阈值收缩系数 由经过最速下降法最小逼近的值计算得到的近似0范数决定, 取每次迭代系数:

由式(12)可以看出, 当迭代获得的近似0范数逼近图像在变换域的稀疏度为 时, BCS-SSL0PL收缩系数是SPL算法中的 倍。

BCS-SSL0PL算法步骤如下:

Function x=BCS-SSL0PL(y, Φ _B, Ψ )

ε =0.00001, max_iterate=200

σ _min=0.00005, μ ₀=4.3, λ ₀=6, η =0.6

For each block j

= + (y-Φ _B )

End for

e=

While e< ε and i< max_iterate

=Wiener(x⁽ⁱ⁾)

For each block j

= + (y-Φ _B )

End For

=Ψ

= -μ ₀Ñ ( )×

λ ⁽ⁱ⁾= [1- ( )/(L_c× L_r)]

=Threshold( , λ ⁽ⁱ⁾)

=Ψ ^-1

For each block j

= + (y-Φ _B )

End For

e=

=η

If σ ⁽ⁱ⁾> σ _min

σ ⁽ⁱ⁺¹⁾=γ σ ⁽ⁱ⁾

Else

σ ⁽ⁱ⁺¹⁾=σ ⁽ⁱ⁾

End If

End While

End Function

从上面的介绍可以看出, BCS-SSL0PL算法相对于BCS-SPL算法在于每次迭代增加一次最速下降法的最小值逼近步骤加速, 同时用逼近的近似0范数去控制收缩系数, 减少重建算法迭代次数, 加快了分块压缩感知算法重建速度。迭代次数的减少可以一定程度避免维纳滤波器的多次作用而使得图像变得模糊的问题。