无杂散动态范围(SFDR)是衡量ADC动态范围性能的重要指标。其定义是:当一个正弦信号输入到ADC时, 正弦信号的功率除以在ADC输出端信号频谱的最大寄生信号峰值功率^[1]。这个指标是评价一个ADC在非常大的信号存在的情况下, 能够检测到非常小的信号的能力。在宽带接收设备中, ADC的SFDR是制约整个接收系统动态范围的关键因素, 因此对于ADC的无杂散动态范围性能参数的测试和研究很重要。

目前, 针对ADC动态范围的分析方法中, 大部分研究者主要针对实际的工程应用测试需求, 采用满幅度的正弦信号作为ADC的输入激励源, 对ADC输出的数据进行统计处理, 包括直方图统计^[1]、正弦波匹配^[2]、傅里叶分析^[3]等, 但这些方法在具体的测试分析过程中由于受到采样样本数需求过大、测量参数较为单一、频谱泄漏和频谱混叠等因素的影响^[4], 并不能得到精确的结果, 具有一定的局限性。另有一部分研究者从ADC的量化误差角度出发, 假定量化误差是在量化台阶内均匀分布且与输入信号无关的随机变量, 进一步得到ADC的无杂散动态范围为^[5]:

式中: 是有效量化比特数。

文献[6]将Dither噪声与输入信号相加后进行ADC量化, 减弱输入信号与量化噪声的相关性, 在一定程度上改善了ADC的SFDR性能, 但受Dither幅度的影响。此外, 将量化误差近似为均匀分布的假设是有一定条件的, 如文献[7]建立的量化理论认为如果输入信号的两维特征函数是带限的, 那么量化噪声就是与输入无关的白噪声, 这一条件是充分而非必要条件; 文献[8]进一步建立了充分必要条件, 认为如果输入信号的特征函数是一个 函数, 那么量化噪声谱就是白噪声谱。此外, 一些研究者认为输出信号的频谱由离散谐波分量组成, 而非白噪声, 对量化噪声谱的分布和动态性能进行了确定性分析^{[9, 10]}。文献[11]分析了量化后的正弦信号的噪底, 推导给出了三次谐波和信噪比的表达式, 但并没有对ADC的SFDR进行分析。文献[12]仅从仿真的角度给出了SFDR的近似拟合表达式(9N-6)。文献[13]假设输入正弦信号为确定性信号, 分析了均匀量化器的SFDR性能, 但假定采样过程和量化过程相互正交, 并未考虑采样因素对于其SFDR性能的影响。

本文从ADC的量化和采样角度出发, 首先基于ADC量化噪声谱的分析, 通过数学推导分别给出了在无噪和加性高斯白噪声条件下, 单音正弦信号激励的ADC的SFDR性能理论上界; 阐明了SFDR与输入信号的幅度、信噪比以及量化间隔等因素之间的关系; 进一步推导分析了多音正弦输入下ADC的量化噪声谱及其对SFDR性能的影响。最后, 结合傅里叶分析法, 分析了不同采样率条件下量化噪声谱的分布及其对SFDR性能的影响。

理想ADC主要包括采样和量化两个过程, 且在一般的情况下采样过程在量化过程之前, 为了分析问题的方便, 将这两个过程调换了顺序, 但并不影响分析的结果^[11]。假定输入信号序列 具有无限的精度, 且采用的量化器是均匀量化器, 代表量化噪声。在不考虑溢出的情况下, 量化噪声是一个周期的锯齿波, 其幅度范围是 为ADC的量程, 是量化比特数, 则 的复指数傅立叶级数为:

假设量化器的输入信号为:

同时假设采样速率是输入正弦信号频率的整数倍。式(3)中: 为正弦信号的幅度, 为均匀分布在 的随机变量, 那么可以得到:

将式(1)代入式(2), 并利用如下Jacobi-Anger公式:

式中: 为第一类 阶贝塞尔函数, 则 的均值:

由于当 所以:

又因为

利用上述推导方法可以进一步得到 的二阶矩和自相关函数如下:

由于 上式中, 为偶数的项就消失了。

由上述推导可以看出, 正弦信号输入时的量化噪声是一个平稳随机过程, 当量化比特数增大时, 增大, 而此时 的方差趋于 根据功率谱与自相关函数之间的傅立叶变换关系, 就可以得到量化噪声功率谱为:

式中: 是 的余数; 为奇数; 为采样速率; 是关于采样速率的归一化频率。

基于ADC量化过程的基本模型, 可以得到量化输出为:

而输出的功率谱为:

将式(10)代入到式(12), 可以得到:

通过上面的分析可知, 量化后的正弦信号的功率谱由一系列离散分量组成, 而根据双边谱和单边谱的关系, 可得到基波分量的输出幅度为:

而第 个谐波分量的幅度 为:

该结果与文献[14]一致, 只是推导过程和结论表达形式不同。

通过对式(14)(15)的计算和比较分析, 可以获得ADC量化输出的最大谐波分量 其频率位置为 那么ADC的SFDR可以定义为量化噪声谱的功率最大的分量与基频分量的比值:

进一步利用Matlab对式(16)进行仿真分析, 图1给出了不同量化比特位数条件下的最大谐波分量位置。由于 在 非常大时趋于零, 且因为量化器的输出包含有限不连续点, 因此可以用有限项求和来代替式(14)(15)中无限项求和。这里假定求和项数 其中量化比特 而量化间隔 从图1可以看出当量化比特小于3时, 最大谐波分量为三次谐波, 而当量化比特位数增大时, 谐波分量的位置发生了变化, 最大分量分布在 附近^[13]。

图1

Fig.1

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	图1 不同量化比特最大谐波分量的位置Fig.1 Location of largest harmonic component of different quantization bits

图2

Fig.2

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	图2 ADC的SFDR性能的理论值和仿真值Fig.2 Theoretical and simulated value of SFDR performance of ADC

图2给出了通过式(16)并结合式(14)(15)和傅里叶分析法^[13]得到的不同量化比特下ADC的SFDR性能, 可以看出理论值与仿真结果完全一致, 其中式(14)(15)的求和项数 傅里叶分析法的仿真参数为:采样频率f_s=128× 64 Hz, FFT点数为128× 64点, 输入信号频率f₀=(5× 64-1)Hz。

由此, 在一定量化误差范围内, 进一步利用最小二乘拟合可以得到理想ADC的SFDR性能和量化比特 之间的表达式为:

下面分析加性高斯噪声对于量化噪声谱的影响, 即假定输入信号为:

式中: 为均值为0、方差为 的高斯白噪声, 类似于上一节的分析方法, 根据高斯变量的特征函数性质, 可知 则可以得到:

式中:

根据功率谱与自相关函数之间的傅立叶变换关系, 就可以得到量化噪声功率谱为:

因此, 加性高斯噪声条件下ADC输出的基频分量的幅值为:

而第 个谐波分量的幅值为:

将式(22)(23)代入式(16), 可以得到高斯信噪比下的ADC的SFDR的具体表达式。图3给出了ADC的SFDR性能和 之间的关系。

图3

Fig.3

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	图3 ADC的SFDR性能和(σ /Δ )2的关系Fig.3 Relationship between SFDR of ADC and (σ /Δ )2

结合上面的分析可知, 谐波分量的幅值及其ADC的SFDR性能依赖于 当这个比值大于1时, 谐波分量的幅值被明显削弱甚至消失, ADC的SFDR性能随着高斯噪声的增大而明显增大。这是由于在高斯白噪声条件下, 噪声本身具有的随机性破坏了量化噪声的规律, 因此在ADC的性能评估中必须充分考虑输入噪声的影响。

下面分析多音正弦输入情况下, ADC的量化噪声谱的分布情况。首先考虑当输入为两个正弦信号的情况, 假设输入信号为:

式中: 和 分别为两个正弦信号的幅度; 和 为均匀分布在[0, 2π ]的随机变量。

同样利用上述推导方法, 可以得到量化噪声的功率谱为:

式中: 和 是奇偶性相反的整数。当输入为 个正弦信号时的量化噪声谱为:

式中: r_l为奇数。显然, 多个正弦信号输入时的量化噪声谱依然为离散谱, 但是由于采样的原因, 其谐波分量折叠到了 因此对于多音正弦输入信号而言, 低频信号量化之后的谐波分量很可能与高频信号的频率值相近, 需要具体考虑不同输入信号频率之间的相对相位关系。此外, 由于FFT的有限长度, 多个交调分量将很可能分布在同一个频率点上, 使得对其SFDR性能的估计变得更加困难。因此, 多音正弦信号输入的量化SFDR性能的闭式解推导和仿真验证是个挑战, 将在以后的工作中继续研究。

根据ADC的一般分析模型, 采样是量化之后必不可少的一个环节, 而采样后的信号以采样频率为周期在频谱上无限拓展。通过上面的分析, 可知激励信号经过ADC的量化之后, 特别是在量化比特大于3时, 其最大谐波分量的位置位于奈奎斯特区间之外, 采样率 往往无法满足其Nyquist采样的要求而导致谐波分量的镜像混叠, 从而破坏原来谐波分量之间的关系, 使得ADC输出的谱分布产生非线性变化, 而这种变化趋势主要依赖于采样频率 和输入信号频率 的关系。下面结合Matlab仿真重点分析在三种不同 和 的关系下, 输出离散谱的分布及其对SFDR性能的影响。

Case1 和 互为质数当采样频率值和输入信号频率值互为质数时, 在不同的信号周期里, 信号的采样值将具有不同的相位值, 其采样值接近于随机的位置不具有周期性。量化噪声谱中大于 的谐波频率在向 内折叠时, 并不会与其他的低阶谐波分量产生碰撞, 如图4所示, 其中f₀=319 Hz, f_s=128× 64 Hz, 量化比特N=4; ADC的SFDR性能如图5所示, 可以看出SFDR值并不随着采样率的变化而变化, 此时有利于ADC实际动态性能的测试。

图4

Fig.4

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	图4 fs和f0互为质数的ADC的离散谱Fig.4 Discrete spectrum of ADC when fs and f0 are relative primes

图5

Fig.5

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	图5 fs和f0互为质数的SFDR性能Fig.5 SFDR performance of ADC when fs and f0 are relative primes

Case2 为 的整数倍当采样频率为输入信号频率的整数倍时, 根据一般的镜像混叠机理可以得到高阶谐波分量的混叠频率位置计算公式。假定量化之后的高阶谐波分量的频率为 采样频率为 其中 采样得到的混叠后的频率为 则有:

式中:Int表示将小数点后面的数字全部丢弃, 仅保留小数点之前的整数部分。

定义 被 整除的余数, 那么式(27)表示当 时, 否则

图6给出了当 为整数时, 正弦信号经过ADC的量化和采样过程之后的谱分布, 其中f₀=512 Hz, f_s=64× 512 Hz, 量化比特N=3。从图6可以看出, ADC输出的离散谱位置将出现非线性变化, 特别是当 为奇数时, 其主要能量将不再仅分布在基频和其奇数倍谐波分量的位置上, 在偶数倍基频的位置上也可能出现较大的谐波分量。

图6

Fig.6

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	图6 fs/f0为整数的ADC输出离散谱Fig.6 Discrete spectrum of ADC when f0 divides fs

图7

Fig.7

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	图7 不同整数倍fs/f0的SFDR性能Fig.7 SFDR performance of ADC when f0 divides fs

图7给出了在不同量化比特N=2、4、6的条件下, 不同采样频率的SFDR的分布情况。从图7可以看出由于欠采样引起的频谱镜像混叠作用, ADC的SFDR不再是一个恒定值。在采样率相对较低时, 在奈奎斯特频率范围内, 其镜像混叠作用明显, SFDR性能由于具体的采样倍数和谐波分量分布的影响而呈曲线变化趋势。随着采样率的不断提高, 量化噪声功率分布到更宽的频谱范围之内, 镜像混叠的作用相对减弱, 最后收敛于未考虑采样的情况。此外, 量化位数越小, 其各谐波分量的幅值越大, 但由于总的噪声能量不变, 使得谐波分量与基频分量的幅值相对差值越小, 则ADC的SFDR性能的收敛速度越快。

Case3 和 具有大于1的最大公约数

式中:gcd表示最大公约数。

图8给出了该条件下的正弦信号输入的ADC的输出离散谱分布, 其中f₀=5× 64 Hz, f_s=128× 64 Hz, gcd(f_s, f₀)=64, 量化比特N=4。ADC量化采样后的信号重复周期为f'_s=128, 每个重复周期内包含了 个正弦信号周期, 则量化误差的谐波中包含了一个以 为基频的分量, 主要分布在 的位置上, 其中 为整数, 由于假定采样速率和FFT点数为2的整数倍, 输入信号的频率 为奇数, 也即输入信号的频率必定与谐波分量重叠。

图8

Fig.8

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	图8 fs和f0具有公约数的ADC输出信号谱Fig.8 Discrete spectrum of ADC when fs and f0have a common divisor

图9给出了 和 具有最大公约数条件下ADC的SFDR性能随着信号频率变化的趋势。从图9可以看出, 由于输入信号的频率位置和谐波分量相互重叠, 使得其基频位置的谐波幅值增大, 而相对于Case2, 其谐波分量分布的频率范围更广, 镜像混叠的作用相对减弱, 因此其SFDR性能的收敛速度更快。

图9

Fig.9

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	图9 fs和f0具有最大公约数的SFDR性能Fig.9 SFDR performance of ADC when fs and f0 have a common divisor

在ADC量化噪声谱分析的基础上, 首先从理论上推导给出了ADC的SFDR性能的数学表达式, 并给出了理想条件下SFDR的最小二乘拟合上界, 进一步分析了输入信号幅度、量化台阶、加性高斯白噪声、多音正弦输入等因素对其性能的影响, 为实际ADC性能的测试和系统的设计提供了理论依据。接着分析了采样因素对ADC的SFDR性能的影响, 结合Matlab仿真重点分析了采样率和输入信号频率在互为质数、具有最大公约数、整数倍等不同条件下的ADC输出离散谱和SFDR性能的变化趋势。从仿真结果及其分析可以看出, 在两个频率值互为质数时, 其SFDR性能稳定, 最有利于对ADC的SFDR性能进行测试, 而具有最大公约数下的性能好于整数倍的情况, 此外, 采样频率越大其性能越趋近于稳定值。当然, 采样频率、量化精度、输入信号幅度等因素在实际测试和应用中也受到具体器件性能和测试信号的制约, 在具体工程设计中需要综合考虑。