采用 代替路堤荷载作用宽度, 把图1(a)简化为图1(b)。因路堤长度与宽度之比大于10, 所以软土地基土体中应力按照平面应变问题求解。假定路堤荷载以均布荷载形式作用于各向同性均匀的半无限弹性地基土体表面。

图1

Fig.1

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	图1 路堤荷载简化处理Fig.1 Simplification of embankment loading

(1)任意一点 的自重应力

如图2(a)所示, 点的自重应力为:

式中: r₂ 为路堤下地基土的重度; z为M点至地基顶面距离; K₀为软土地基中土体的静止侧压力系数。

(2)任意一点 的附加应力

由文献[12]可知:弗拉曼推得的极坐标系下均布线性荷载作用下均质地基土中附加应力表达式为:

图2

Fig.2

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	图2 地基中应力计算Fig.2 Stress calculation in foundation

在极坐标系下, 如图2(b)所示, 从 M点到荷载边缘的连线与竖直线之间的夹角分别表示为β ₁ 与β ₂, 其正负号规定为从竖直线MN绕M点顺时针旋转至连线时取正值, 反之取负值。因此, 图2(b)中的 均为正值。取元素荷载宽度dx, 根据图2(b)中几何关系可得:

把式(3)代入式(2), 在荷载分布宽度 B范围内进行积分, 由此得到均布荷载p作用下M点的附加应力σ ″_z表达为:

利用和差化积公式整理上式可得

式中:

(3)任意一点 的总应力

联立式(1)(4)可得 点的总应力表达式:

(1)任意一点 的主应力

材料力学中关于主应力、法向应力、剪应力的关系式如下:

路堤中心线下应力最大, 将先达到屈服而破坏^[8]。为便于推导, 仅考虑路堤中心线下地基土中应力计算(偏于安全)。由图2(b)中的几何关系与对称性得知: 代入式(5), 再将式(5)代入到式(6)整理得:

(2)任意一点 的有效主应力

式中: 为孔隙水压力。

点的应力达到极限平衡状态时, 依据统一强度理论^{[9, 10]}, 点有效主应力应满足:

式中: b为统一强度理论参数; m为中间主应力参数^[13] ; c₂ 为黏聚力; φ ₂ 为内摩擦角; c_t 为统一黏聚力; φ _t为统一内摩擦角。

联立式(8)(9)得到塑性区的边界方程为:

将式(11)对 求导数, 并令该导数等于零得:

联立式(12)与式(11), 整理出塑性区最大开展深度z_max表达式为:

由土力学理论可知^[12], 附加应力 引起的固结土层全厚度的平均孔隙水压力 表达式为:

式中: 为土层平均固结度。

采用 将式(14)代入式(13)得:

当z_max=0时, 可得软土地基临塑荷载p_cr:

实际工程中, 经常以地基土体中出现一定深度的塑性区作为破坏准则^{[8, 12]}, 故取 z_max=B/4, 得软土地基临界荷载p_1⁄4表达式为:

将 代入式(16)(17)中, 可得到文献[12]中基于Mohr-Coulomb强度理论的临塑荷载与临界荷载表达式:

设路堤临界高度为 H_B/4, 路堤填筑材料平均重度为r₁, 则存在如下关系式:

将式(17)代入式(19)整理后得:

某铁路路基工程^[14], 路堤顶宽度B₁=10.8 m, 基底宽度B₂=21.6 m, 路堤填土的重度为γ ₁=17.5 kN/m³, 路堤填高至3.5~4.0 m发生坍滑。地基为软黏土, 地下水位与地面齐平, 地基土重度为γ ₂=17.6 kN/m³, 三轴固结快剪测定得黏聚力c₂=8 kPa, φ ₂=13.5° 。

关于静止侧压力系数 与中间主应力参数 对地基承载力与路堤填高的影响规律, 文献[8]已进行了探讨。本算例已知地下水位与地面平, 因此, 为了便于计算, 取 依据文中式(17)与式(20)计算软土地基临界荷载与路堤临界填高, 结果见表1。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 不同b和U时临界荷载与路堤临界填高 Table 1 Calculation results of critical load and filling height of embankment of different values of b and U U/% 地基临界荷载p1/4/kPa 路堤临界填高HB/4/m b=0 b=1/4 b=1/2 b=3/4 b=1 b=0 b=1/4 b=1/2 b=3/4 b=1 0 55.0 58.1 60.4 62.1 63.4 3.14 3.32 3.45 3.55 3.62 20 61.5 65.4 68.2 70.4 72.2 3.51 3.74 3.90 4.03 4.12 40 69.7 74.7 78.5 81.4 83.7 3.98 4.27 4.48 4.65 4.79 60 80.4 87.2 92.3 96.4 99.7 4.59 4.98 5.28 5.51 5.70 80 95.0 104.6 112.1 118.2 123.2 5.43 5.98 6.41 6.75 7.04

表1 不同b和U时临界荷载与路堤临界填高 Table 1 Calculation results of critical load and filling height of embankment of different values of b and U

将表1数据与文献[14]中数据对比发现, 当b=3/4时, 本文的软土地基承载力及路堤临界填高的计算结果与文献[14]计算结果很接近。比较结果见表2。

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 计算结果比较 Table 2 Comparison of calculation results U/% 临界荷载p1/4/kPa 路堤临界填高HB/4/m b=3/4 文献[14] 差值 b=3/4 文献[14] 差值 0 62.1 62.0 0.1 3.55 3.54 0.01 20 70.4 71.4 -1.0 4.03 4.08 -0.05 40 81.4 83.0 -1.6 4.65 4.74 -0.09 60 96.4 98.2 -1.8 5.51 5.61 -0.10 80 118.2 118.8 -0.6 6.75 6.79 -0.04

表2 计算结果比较 Table 2 Comparison of calculation results

(1)当 时, 式(16)与式(17)将退化为基于Mohr-Coulomb强度理论的临塑与临界荷载式(18), 表明基于Mohr-Coulomb强度理论的临塑与临界荷载仅是本文公式的一个特例, 同时也证实了本次推导过程的正确性。

(2)由表1数据进行 时, 由于未考虑中间主应力影响, 得到的地基临界荷载偏小, 路堤临界填筑高度偏低。表明基于统一强度理论的承载力计算方法更有利于地基承载能力的充分发挥。

(3)由文献[14]可知, 路堤填筑时间较短, 软土地基的固结度不会超过20%, 由表2数据可知, 相应的路堤临界填筑高度在3.55~4.03 m, 与坍滑时的实际高度较吻合。