基于BP回传理论的反演方法主要分为学习和反演两个过程, 其中在学习过程中又分为正传和反传两个步骤。由输入和初始化后的连接权计算实际输出, 即正传。反传是由期望输出与实际输出的偏差, 逐层向输入层方向逆向修正, 将偏差分摊给各层单元, 以此调整各个连接权值, 依次迭代, 直到实际输出和期望输出的偏差达到所要求的精度为止^{[19, 20]}。

设c_k为第k个输入样本的期望输出; y_k为实际输出, 则BP神经网络的目标函数E可以设为所有输入样本的实际输出与期望输出的误差平方和, 如式(2)所示:

E=1q∑k=1q(ck-yk)22

式中:q为样本的总个数。

BP神经网络训练方法多为梯度下降法, 即:

Δwij(t)=-ε∂E∂wij(t)+σΔwij(t-1)(3)

式中:w_ij为网络连接权值; Δ w_ij(t)为权值的变化量; ε 为学习动量; σ 为学习率, 不断地迭代调整各层间的权值直到E足够小, 网络训练结束。

利用BP神经网络实现反演的步骤如下:

(1)确定输入层和输出层中神经元的个数、隐层的层数及神经元个数(即节点数);

(2)随机初始化权值和阈值, 设定最大迭代次数;

(3)输入学习样本, 根据实际输出和期望输出的误差来调整权值和阈值, 使得期望输出和实际输出的误差达到最小;

(4)样本测试, 测试网络是否训练好;

(5)将训练合格的神经网络来进行电阻率二维反演。

粒子群算法是一种模仿鸟类觅食行为的随机优化算法, 由Kennedy和Eberhart在1995年提出^[21]。该算法就是将每个可行解看作是搜索空间的一只鸟, 即粒子, 将多个可行解的集合看作一个种群。该粒子具有的特征是速度和位置。通过设置一个适应度函数来评价粒子的好坏。各个粒子在飞行过程中所到过的最优位置称为个体极值; 整个种群找到的最优解称为全局极值。粒子群算法就是通过在每次迭代过程中根据个体极值和全局极值不断更新自己以寻找最优解的方法。基于原理简单、参数少等优点, 粒子群算法得到了广泛应用。Eberhart和Kennedy用离散二进制粒子群算法来有效地求解工程中的组合优化问题^{[22, 23]}。Clerc^[24]用离散二进制粒子群算法对17个城市问题进行测试比较, 研究表明该算法可解决旅行推销员问题(TSP)等组合优化问题。张大莲等^[25]将粒子群算法应用在磁测资料井地联合反演中, 取得了比较好的效果, 并且验证了粒子群算法在地球物理反演中的可行性。刘顺安、周立军等^{[26, 27]}将粒子群算法分别应用在汽车悬架优化中和车辆跟驰模型中, 取得了很好的效果, 验证了粒子群算法广泛的适用性。

本文高密度测量电极为45个(极距为2 m)并选择经典的双阻异常体模型用于创建训练神经网络数据集, 其中建立训练数据样本集120个, 测试集5个, 测试集数据均未参与网络训练。

综合考虑反演计算的精度和时间两因素, 并参考相关文献资料, 本文选择有两个隐含层的四层网络进行训练。比较附加动量法、共轭梯度法和RPROP算法(弹性BP算法)发现, 在相同条件下附加动量法训练收敛非常慢, 共轭梯度法训练效果较好, 而RPROP算法最好, 收敛快且精度高, 因此本文选择RPROP训练算法进行电阻率二维神经网络反演^[12]。本文把X、Z位置和视电阻率作为神经网络的输入, 以真实电阻率作为神经网络的输出, 这样的数据类型最适合神经网络的训练和测试。

本文选择的算例模型为经典的双电阻模型1, 该模型中背景场的电阻率为150 Ω · m, 其中的两处异常分别为低阻50 Ω · m和高阻440 Ω · m, 地下埋深为5 m, 异常体的尺寸大小为3 m× 3 m, 如图2(a)所示。在神经网络反演中, 选择X、Z位置和视电阻率作为输入; 真实电阻率作为输出。经测试和验证分析, 本文选择双隐含层, 其中第1层神经元数量为40; 第2层神经元数量为30。测试方法如下:分别选择单隐含层、双隐含层和三隐含层的3种神经网络进行对比测试。其中单隐含层节点数目为40个, 双隐含层节点为40、30个, 三隐含层节点数目为40、30、25。图3为三种神经网络的训练误差, 即均方误差随迭代次数的变化。

图2

Fig.2

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	图2 双阻异常体模型及三种方法反演结果Fig.2 Two block anomalous body model and inversion results of three methods

图3

Fig.3

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	图3 不同隐含层的神经网络训练误差随迭代次数的变化Fig.3 Variation of the training error along with the iteration number of the neural network with different hidden layers

从图3中不难发现, 单隐含层收敛速度慢、误差精度差; 双隐含层和三隐含层收敛速度快, 其中三隐含层误差精度最高。在综合考虑收敛速度和误差精度后, 可知双隐含层神经网络结构最优。故本文选择双隐含层神经网络进行学习训练, 得到最佳的神经预测网络, 然后进行反演预测。最后将神经网络的输出, 即真实电阻率数据应用到SURFER软件上成图, 结果如图2(c)所示。同时应用RES2DINV反演软件也进行了相应成图, 反演结果如图2(b)所示。通过对比不难发现, 利用BP神经网络进行反演虽然产生了冗余构造, 但是在异常体位置和电阻率值上的反演效果比RES2DINV反演更为准确。

针对BP算法在阈值和权值优化过程中容易陷入局部极小的不足, 本文提出PSBP神经网络训练方法, 用粒子群优化算法代替梯度下降法训练神经网络的阈值和权值, 由于粒子群算法可以做到全局寻优, 所以最终迭代出的适应度函数值最小的粒子即为BP神经网络的最佳权值和阈值。PSBP算法步骤如下:

(1)首先根据研究对象建立神经网络结构, 确定输入变量、输出变量; 初始化神经网络输入层、隐含层、输出层的神经元个数。

(2)将神经网络不同层间神经元连接的权值和阈值编码成实数向量, 表示种群中一个粒子。

(3)初始化粒子的初始速度、位置、惯性权值和学习因子, 最大迭代次数。

(4)把神经网络均方误差作为适应度函数, 计算出每个粒子的适应度函数值; 确定每个粒子的个体极值和粒子群的全局极值。

(5)如果粒子当前的位置达到误差要求或者是达到最大迭代次数, 则停止迭代, 此时粒子群的全局极值所对应的权值和阈值即为神经网络的最优权值和阈值。

(6)把最优的权阈值再赋予神经网络, 进行神经网络再训练, 直到达到目标要求或达到最大迭代次数, 输出反演结果。

同样以3.1节的双阻异常体模型为例。首先利用粒子群算法为BP神经网络的初始权阈值进行寻优, 经过45次的迭代寻找到最佳极值点。然后利用单隐含层的BP神经网络进行训练, 经过260次的迭代, 得到最佳的神经网络。最后将PSBP神经网络的输出数据应用SURFER成图处理, 得到反演图, 如图2(d)所示。与图2(b)(c)对比, 显然PSBP得到的反演效果最好。

从图2可以看出, PSBP算法的反演准确度高、效果好。表1为使用RES2DINV线性反演法、BP法和PSBP法进行反演的结果对比表。由表1可以得到以下结论:

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 三种反演算法试验结果对比 Table 1 Comparison of three inversion algorithm test results 线性反演 BP反演 PSBP反演 训练步数 1150 520 263 反演时间/s 4.6 8.9 1.9 多次预测最大绝对值误差/% 82.90 56.56 15.3 多次预测最小绝对值误差/% 0.16 0.25 0.05 多次预测平均绝对值误差/% 10.28 5.8 2.35

表1 三种反演算法试验结果对比 Table 1 Comparison of three inversion algorithm test results

(1)针对神经网络容易陷入局部小、收敛性相对较差的问题, 应用PSO算法对神经网络进行权重优化, PSBP神经网络算法优于BP神经网络, 迭代次数要明显小于BP神经网络, 大大地节约了运算时间。

(2)用BP神经网络法进行反演时需要用双隐层才可以获得较好的网络进行预测, 需要多次调整隐层节点数, 因此迭代次数较多、用时较长, 而PSBP法反演时, 由于先优化了BP神经网络初始权值、阈值, 所以在训练时仅单隐层网络就可得到更优的结果, 时间也相对快些。

(3)预测误差是表明数据稳定性的参数。从3种神经网络方法的预测误差值来看, PSBP要优于BP和RES2DINV线性反演, 在图2(a)所示模型中预测最大绝对值误差, 前者仅为15.3, 后两者高达56.56和82.90。