如图3所示, 小波变换-粒子群小波神经网络模型的具体预测流程如下:

(1)选用某一小波函数对有效停车泊位时间序列进行多分辨率的N尺度的分解, 分解后得到一个尺度为N的低频系数向量c_N 和N个不同尺度下的高频系数向量d₁, d₂, , et al., d_N .

(2)用指定的小波函数分别对信号的低频部分c_N 和高频部分d₁, d₂, , et al., d_N 进行多尺度重构, 得到N+1个时间序列C_N, D₁, D₂, , et al., D_N .其中, C_N 为低频信号, 反映有效停车泊位本质变化趋势; D₁, D₂, , et al., D_N为高频干扰信号, 反映有效泊位的随机变化趋势.

(3)对 N+1个重构的时间序列分别建立粒子群小波神经网络预测模型, 包括粒子群速度和位置的更新, 计算全局最优适应度, 输出最优初始参数等步骤.

(4)使用粒子群小波神经网络模型进行预测, 得到N+1个预测结果 NC^N, D^1, …, D^N。

(5)将上述N+1个预测结果累加, 获得对应于原始有效停车泊位的预测结果, 即 X^=C^N+D^1+D^2+…+D^N。

图3

Fig.3

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	图3 小波变换-粒子群小波神经网络预测流程图Fig.3 Flow chart of PSO-WNN based on wavelet

由于有效停车泊位预测中用的是离散的时间序列, 故引入离散小波变换(DWT)中的二进正交小波变换, 并采用快速二进正交小波变换算法(简称Mallat算法)进行小波分解和重构.

Mallat算法^[10]表示为:

cn+1=Hcndn+1=Gcnn=0, 1, 2, …, N(1)

式中:H和G分别为低通滤波器和高通滤波器; c₀ 为原始时间序列, 可以将原始时间序列分解为高频系数向量d₁, d₂, , et al., d_N 和低频系数向量c_N .

经Mallat算法分解后的序列可以用重构算法进行重构: Cn=H* Cn+1+G* Dn+1, n=N-1, N-2, …, 0.其中, H^* 和G^* 分别为H和G的对偶算子.采用上述重构算式可以对d₁, d₂, , et al., d_N 和c_N 分别进行重构, 得到D₁, D₂, , et al., D_N 和C_N, 它们和原始时间序列的点数一样, 且有:C₀=C_N+D₁+D₂+⋯+D_N .

2.3.1 小波神经网络

本文中的小波神经网络以三层BP神经网络的拓扑结构为基础, 是一种以小波基函数作为隐含层节点的传递函数, 信号向前传播而误差向后传播的神经网络^[11], 其拓扑结构如图4所示.网络输入节点数为r, 隐层节点数为l, 输出节点数为m.本文中输出节点只有一个, 即m为1.

图4

Fig.4

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	图4 小波神经网络拓扑结构Fig.4 Wavelet neural network topological structure

设小波神经网络的输入信号可以表示为一个一维向量x_i (i=1, 2, , et al., r), 输出信号表示为y(k)(k=1, 2, , et al., m).隐含层输出的计算公式为:

h(j)=φ∑i-1rωijxi-bjajj=1, 2, …, l(2)

式中:h(j)为隐含层第j个节点的输出值; ω _ij 为输入层i节点和隐含层j节点间的连接权值; φ (x)为小波基函数; b_j 为小波基函数的平移因子; a_j为小波基函数的伸缩因子.

本文中的小波基函数选用母小波基函数:

φ(x)=cos(1.75x)e-x2/2(3)

小波神经网络输出层预测值的计算公式为:

y(k)=∑j=1lωjkh(j), k=1, 2, …, m(4)

式中: ω _jk 为隐含层j节点和输出层k节点间的连接权值.

本文中的小波神经网络的权值和阈值的修正算法采用梯度修正法来更新网络权值和小波基函数参数, 从而使小波神经网络预测输出不断逼近期望输出.

2.3.2 粒子群算法

粒子群算法(PSO)是一种基于群体智能理论的优化算法.粒子群的个体(这里称作粒子)代表问题的一个可能解.每个粒子具有位置和速度两个特征.粒子位置坐标对应的目标函数值即可作为该粒子的适应度.算法通过适应度来衡量粒子的优劣.首先初始化一群随机粒子, 然后通过迭代找到最优解.在每一次迭代中, 粒子通过跟踪两个"极值"来更新自己:一个是粒子本身所找到的最优解, 即个体极值pBest; 另一个是整个粒子群目前找到的最优解, 称之为全局极值gBest.

粒子在找到上述两个极值后, 就根据下面两个公式来更新自己的速度与位置^[12]:

V=w×V+c1rand(pBest-Present)+c2rand(gBest-Present)(5)

Present=Present+V(6)

式中: V为粒子的速度; Present为粒子的当前位置; rand为[0, 1]之间的随机数; c_1 和c_2 被称作学习因子, 通常, c₁=c₂=2; w为加权系数, 一般在0.1到0.9之间取值.

在迭代过程中, 粒子每一维的更新速度都被限制在最小和最大更新速度[-V_max, V_max]之间, 粒子每一维的坐标也被限制在合理范围内.同时, 每个粒子的个体极值pBest和整个粒子群的全局极值gBest在不断地更新, 最终得到的gBest就是算法得到的最优解.

2.3.3 粒子群小波神经网络预测流程

利用上文介绍的粒子群算法对小波神经网络的初始权值和阈值进行最优选取.

粒子群算法的适应度函数选为小波神经网络的训练误差均方差, 即:

f=MSEN=1N∑k=1N[yn(k)-y(k)]2(7)

式中:N为训练样本数; yn(k)为第k个点的期望输出; y(k)为第k个点的实际输出值.

混合模型通过粒子群算法的优化搜索来训练网络参数, 以获得尽可能低的训练误差, 其具体的训练流程图如图5所示.

图5

Fig.5

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	图5 粒子群小波神经网络参数训练流程图Fig.5 Flow chart of training parameter of PSO-WNN model

训练完成后将输出的网络权值和阈值作为小波神经网络的初始权值和阈值, 对有效停车泊位数进行预测.

本文试验数据来源于英国纽卡斯尔市埃尔登停车楼2011年9月12日至9月16日和纽卡斯尔市约翰停车楼2011年11月8日至11月11日全天的停车泊位信息, 并将其处理成以1 min为间隔的有效停车泊位时间序列.

由于两处停车楼工作日夜间22:00到凌晨6:00几乎没有车辆停泊, 停车需求较低, 因此本文均以两个停车楼前三天6:00~22:00时间段内的2883个数据作为训练样本, 剩余一天6:00~22:00时间段内的961个数据作为测试样本, 分别对两个停车楼有效停车泊位进行预测.

误差指标采用测试样本的均方差:

MSEN=1N∑k=1N[yn(k)-y(k)]2(8)

本文选用"db2"函数作为小波分析函数, 利用后验的方法对原始有效停车泊位时间序列采取5层分解, 得到6个子有效停车泊位时间序列:高频干扰时间序列D1~D5以及低频确定时间序列C5.

粒子群的种群规模设置为30, 进化代数设置为200, 神经网络正向更新时迭代次数为10, 最优适应度 fd根据试验数据训练情况设置, 即在训练埃尔登停车楼试验数据时设置为4.5, 而在训练约翰停车楼试验数据时, 训练误差相对较低, 故最优适应度设置为2.

结合粒子群算法的小波神经网络为三层拓扑结构, 输入层数目设为3, 即输入当前时间点的前3个时间间隔的有效停车泊位数, 隐含层数目经多次对比试验设为6, 输出层为1, 即输出下一个时间间隔的有效停车泊位数.初始网络权值和阈值为粒子群算法输出结果.设置网络学习速率为0.01, 收敛误差与粒子群最优适应度相同.为了在相同的训练次数下比较小波神经网络模型与粒子群小波神经网络模型的预测精度, 单独使用小波神经网络模型预测时的迭代学习次数为:种群规模× 进化次数× 神经网络正向更新时的迭代次数=30× 200× 10=60000次.

根据以上所述的参数设置, 将通过粒子群算法训练好的初始权值和阈值代入小波神经网络中训练.为减少训练时间, 在利用小波神经网络预测时, 高频干扰时间序列(D1~D5)均采用从低频确定时间序列(C5)中训练得到的初始权值与阈值.

由于各模型预测效果具有随机性, 故本文对于埃尔登停车楼与约翰停车楼的有效泊位数据分别利用前文所述的3种预测模型进行了5次预测试验, 在一定程度上降低了偶然性的影响.表1中记录了对于小波神经网络(WNN), 粒子群小波神经网络(PSO-WNN)和基于小波变换的粒子群小波神经网络(WA-PSO-WMM)5次试验的预测均方差(MSE).5次预测的均方差(MSE)平均值和标准差记录在表2中, 计算如下:

MSE平均值=15∑k=15MSEk(9)

MSE标准差=15∑k=15(MSEk-MSE平均值)2(10)

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 各模型5次试验的预测均方差 Table 1 Prediction MSE of three models in five experiments 试验次数 使用模型 MSE 埃尔登停车楼 约翰停车楼 1 WNN 107 33 PSO-WNN 29 9 WA-PSO-WNN 6 5 2 WNN 152 23 PSO-WNN 51 7 WA-PSO-WNN 32 4 3 WNN 61 18 PSO-WNN 37 4 WA-PSO-WNN 6 3 4 WNN 176 21 PSO-WNN 39 11 WA-PSO-WNN 29 4 5 WNN 69 12 PSO-WNN 21 6 WA-PSO-WNN 3 2

表1 各模型5次试验的预测均方差 Table 1 Prediction MSE of three models in five experiments

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 各模型5次预测的MSE平均值和标准差以及训练时间 Table 2 Average MSE, standard deviation, and training time of three models in five experiments 评价指标 WNN PSO-WNN WA-PSO-WNN 埃尔登停车楼 MSE平均值 (预测精度) 113 (较低) 35 (较高) 15 (最高) MSE标准差 (预测稳定性) 101 (较差) 22 (较好) 28 (较好) 训练时间 /min 8 (较少) 40 (较大) 42 (较大) 约翰停车楼 MSE平均值 (预测精度) 21 (较低) 7 (较高) 4 (最高) MSE标准差 (预测稳定性) 7 (较差) 2 (较好) 1 (较好) 训练时间 /min 8 (较少) 34 (较大) 36 (较大)

表2 各模型5次预测的MSE平均值和标准差以及训练时间 Table 2 Average MSE, standard deviation, and training time of three models in five experiments

以埃尔登停车楼为例, 图6和图7分别表示了在埃尔登停车楼试验数据的训练过程中, 小波神经网络随迭代次数的增加其训练误差的变化以及粒子群算法中适应度(本文中即训练误差)随进化代数的变化.可以看出:单纯使用小波神经网络进行迭代训练时, 当迭代次数大于5000次, 训练误差几乎不再减少, 算法陷入局部最优, 60 000次迭代结束后离收敛误差还有一定差距.而利用粒子群算法的全局搜索能力有利于神经网络达到收敛误差, 一定程度上避免了网络训练陷入局部最优.试验表明:实际上单独应用小波神经网络进行预测时, 最大迭代次数设置为5000次即可, 此时网络训练时间约为8 min.

图6

Fig.6

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	图6 小波神经网络训练误差曲线Fig.6 Training error change curve of simple WNN

图7

Fig.7

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	图7 粒子群算法适应度曲线Fig.7 Training error change curve of PSO-WNN

各个模型第5次试验12:30~14:30间的拟合曲线图如图8, 图9所示.

图8

Fig.8

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	图8 各模型第5次试验的拟合曲线图(埃尔登停车楼)Fig.8 Fitting curve of fifth experiment of three forecasting models(Eldon Multi parking lot)

图9

Fig.9

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	图9 各模型第5次试验的拟合曲线图(约翰停车楼)Fig.9 Fitting curve of fifth experiment of three forecasting models(John Dobson parking lot)

从图表中可以看出:

(1)在埃尔登停车楼和约翰停车楼的有效停车泊位预测试验中, 与随机选取初始权值和阈值的WNN模型相比, PSO-WNN模型的预测精度均有所提高, 而WA-PSO-WNN模型的预测精度则提高了5~7倍, 应用于有效停车泊位短时预测有较好的预测效果.

(2)与WNN模型相比, PSO-WNN模型和WA-PSO-WNN模型预测误差的标准差较小, 即使用粒子群优化算法可以使得模型的预测精度波动较平缓, 稳定性较好, 增强了停车泊位预测的可靠性.

(3)粒子群算法所需要的训练时间较长, 可以利用停车场停车需求不高的时间段对模型进行训练, 如埃尔登停车楼夜间22:00至凌晨6:00.