集中力作用下考虑剪切滑移效应的双层结合面组合梁解析解
郭学东1, 马立军1,2, 张云龙2
1.吉林大学 交通学院,长春 130022
2.吉林建筑大学 交通科学与工程学院,长春 130118
通讯作者:张云龙( 1975-),男, 副教授.研究方向:道路与桥梁工程计算理论.E-mail:zyl_ql@163.com

作者简介:郭学东(1955-),男,教授,博士生导师.研究方向:桥梁加固与检测.E-mail:ypyc@jlu.edu.com

摘要

为了分析碳纤维-钢-混凝土组合梁在竖向集中荷载作用下的静力响应,基于弹性力学的经典理论,推导了竖向集中力作用下的双层结合面组合梁的解析解,得到了碳纤维-钢-混凝土双层结合面组合梁的挠曲线方程,并通过具体算例与有无相互作用的组合梁计算结果进行了对比,结果表明该解析解是正确的,合理的,为工程设计人员提供了一种可靠的设计计算方法,具有较强的实际应用价值.

关键词: 土木工程; 碳纤维-钢-混凝土; 双层结合面组合梁; 滑移
中图分类号:TU311.1 文献标志码:A 文章编号:1671-5497(2016)02-0432-07
Analytical solution of the double joint layer composite beam with shear-slip under vertical concentrated load
GUO Xue-dong1, MA Li-jun1,2, ZHANG Yun-long2
1.College of Transportation, Jilin University,Changchun 130022,China
2.School of Transportation Science and Engineering, Jilin Jianzhu University, Changchun 130118, China
Abstract

In order to analyze the static response of the carbon fiber-steel-concrete composite beams under vertical concentrated load, an analytical solution of the double joint layer composite beams under vertical concentrated load was derived. This analytical solution is based on classical theory of elasticity. The equation of deflection curve of the carbon fiber-steel-concrete double joint layer composite beams was obtained. Numerical calculations of the composite beams with or without interaction are carried out to compare the effect of interaction. The results demonstrate that the analytical solution is correct and reasonable, which provides the engineering designers with a reliable calculation method and has strong practical value.

Keyword: civil engineering; carbon fiber-steel-concrete; double joint layer composite beam; slip
0 引 言

组合梁是将具有不同力学性能的材料组合在一起, 能将各自性能充分发挥出来的一种梁.由于该种结构具有质量轻, 承载力大, 跨越能力强, 施工方便等优点[1, 2, 3, 4, 5], 对有高度及跨度要求的建筑采用组合梁比较合适.近些年组合梁应用于公路及城市桥梁工程中比较普遍, 因此, 有关组合梁理论及试验研究也成为土木工程领域的研究热点之一[6, 7, 8, 9].目前较为常用的组合梁由抗压能力强的混凝土和抗拉能力强的钢两层材料组成.随着碳纤维技术的逐渐成熟, 在组合梁的受拉区采用碳纤维板材代替钢梁的底板, 形成具有双层结合面的新型组合梁结构形式, 不失为一种理想的方案, 但由于双层结合面组合梁是三种材料组合而成, 具有两层结合面, 其变形不再符合平截面假定, 当考虑结合面的滑移效应时, 相对常规组合梁(两种材料组成的组合梁)而言, 其力学状态复杂得多, 应力及变形未知量增多, 很难寻找到符合实际的边界条件, 求解难度成倍增加, 目前还无此种组合梁的精确计算方法.本文以碳纤维-钢-混凝土三种材料结合的具有双层结合面的组合梁为研究对象, 基于弹性力学方法, 推导了集中力作用下考虑两层交界面剪切滑移效应的简支组合梁挠曲线方程, 并给出了对应的滑移曲线.

1 基本假定

根据图1所示的双层结合面组合梁在使用阶段的受力特性, 为便于问题的分析, 本文采用的基本假设如下:① 碳纤维板, 钢梁, 混凝土板均视为均质连续弹性体; ② 各结合面存在剪切滑移, 剪切力与滑移量成正比; ③ 混凝土板及钢梁自身满足平截面假定, 且同一截面三者竖向位移及转角相等; ④ 碳纤维板与钢梁之间, 混凝土板与钢梁之间均无掀起.

图1 双层结合面组合梁Fig.1 Double joint layer composite beam

2 双层结合面组合梁挠曲线方程
2.1 双层结合面组合梁位移函数

图2 简支梁受力图示Fig.2 Force shown of simply supported beam

根据图2给出的简支梁受力图, 基于弹性力学的经典理论, 可得出碳纤维-钢-混凝土组合梁的位移函数为: uc(x, zc)us(x, zs)uf(x)w(x), 其中 uc(x, zc)us(x, zs)uf(x)分别为截面x处混凝土顶板, 钢梁和碳纤维底板的轴向位移, w(x)为组合梁竖向位移, 由于不考虑组合梁的竖向掀起效应, w(x)=wc(x)=ws(x)=wf(x)

图3 组合梁横断面位移图示Fig.3 Composite beam cross-sectional shown of displacement

根据图3, 可给出双层结合面组合梁的位移函数式为:

ucx, zc=uc0x+zcθxwx=wxusx, zs=us0x+zsθxufx=ufx(1)

式中: uc0(x)为混凝土截面几何对称轴处轴向位移; us0(x)为钢梁截面几何对称轴处轴向位移; θ(x)=w'(x)为截面x处转角; zc为混凝土顶板各点距混凝土截面几何对称轴处的距离矢量; zs为钢梁各点距钢梁截面几何对称轴处的距离矢量.

Δu1Δu2分别为上下两层结合面处滑移位移差, 根据式(1)可得:

Δu1x=ucbx-usux=uc0x-us0x-zdθx(2)

式中: ucbx为混凝土顶板底缘轴向位移, usux为钢梁顶面轴向位移, zd=zcb+zsu

Δu2x=usbx-ufx=us0x-ufx-zsbθx(3)

式中: ufx为碳纤维板轴向位移; usbx为钢梁底面轴向位移.

2.2 双层结合面组合梁几何方程

由弹性力学可知, 如图4所示, 各部分位移与应变之间的关系为:

εcx=u'cxεsx=u'sxεfx=u'fxθx=w'xkx=wx(4)

式中: εc(x)εs(x)εf(x)分别为混凝土应变, 钢梁应变及碳纤维板应变; k(x)为截面x处曲率, 为挠度的二阶导数.

图4 组合梁各部分应变分布Fig.4 Composite Beams strain distribution

2.3 双层结合面组合梁的物理方程

(1)层间剪切集度与剪切滑移量之间的关系

由文献[5]可知:

q1q2=ksΔu1/lskfΔu2/lf(5)

式中: q1q2分别为混凝土与钢梁结合面处剪切应力集度和钢梁与碳纤维板结合面处剪切应力集度; kskf分别为上下两层剪切刚度; lslf分别为上下两层剪力连接件距离.

(2)各部分内力与应变之间的关系

Ncx=Acσcx=EcAcεcxNsx=Asσsx=EsAsεsxNfx=Afσfx=EfAfεfxMcx=EcIckxMsx=EsIskx(6)

式中: EcEsEf分别为混凝土, 钢材, 碳纤维的弹性模量; AcAsAf分别为混凝土顶板, 钢梁, 碳纤维底板的横断面面积; IcIs分别为混凝土顶板, 钢梁的抗弯惯性矩.

2.4 双层结合面组合梁的平衡方程

根据文献[2]给出的交界面剪力集度与轴力的关系和式(4)(6)可知:

q1=N'cx=EsAcucxq2=N'fx=-EfAfufx(7)

图2所示的简支梁和图4给出的应变分布, 依据内外力之间的平衡关系可知:在外力 P的作用下, 组合梁的轴力为零, 即:

Ncx+Nsx+Nfx=0(8)

组合梁的抗力弯矩为:

Mx=Mcx+Msx+Ncxzd-Nfxzsb(9)

外力 P对简支组合梁产生的弯矩为:

Mx=lblPx, xlalalPl-x, la< xl(10)

根据弹性力学的基本理论, 可知弯矩抗力与外力 P产生的弯矩平衡, 令 B0=EcIc+EsIs, 由式(4)~(6)可得:

0xla时:

B0wx+EcAcεc0xzd-EfAfεfxzsb=lblPx(11)

la< xl时:

B0wx+EcAcεc0xzd-EfAfεfxzsb=lalPl-x(12)

2.5 双层结合面组合梁挠曲线方程求解

由式(2)~(7)可得:

ksuc0x-us0x-zdw'x=EcAcuc0x(13)

kfus0x-ufx-zsbw'x=-EfAfufx(14)

由式(13)可得:

u's0x=u'c0x-EcAcksuc0x+zdwxus0x=uc0x-EcAcksuc04x+zdwxus0x=uc0x-EcAcksuc05x+zdw4x(15)

式中: zd=zcb+zsu

由式(6)(8)可得:

u'fx=-EcAcEfAfu'c0x-EsAsEfAfu's0xufx=-EcAcEfAfuc0x-EsAsEfAfus0xufx=-EcAcEfAfuc0x-EsAsEfAfus0x(16)

由式(11)(12)可得:

wx=lbB0lPx-kMcsu'c0x+kMfu'f(x), 0xlalaB0lP(l-x)-kMcsu'c0(x)+kMfu'f(x), laxl(17)

式中:

kMcs=EcAczdB0, kMf=EfAfzsbB0

由式(17)可得:

w4x=-kMcsuc0x+kMfufx(18)

由式(13)~(18)可得:

a1uc05x+a2uc0x+a3u'c0x=d1x, xlad2l-x, la< xl(19)

式中:

a1=EsAsksEcAckf,

a2=-EcAc+EsAskf-EsAsks-EcAcEsAsEfAfks-EcAcEsAszsb2B0ks-EcAcEsAszd2B0kf,

a3=1+EcAc+EsAszsb2B0+EcAczd2B0+2EcAczsbzdB0+EcAcEsAszd2B0EfAf+EcAc+EsAsEfAf,

d1=zcb+zsu+zsb+EsAsEfAfzdPlba3B0l,

d2=zcb+zsu+zsb+EsAsEfAfzdPlaa3B0l

解微分方程(19)可得混凝土顶板截面几何对称轴位置处的轴向应变为:

0xla时:

u'cx=c1eR1x+c2e-R1x+c3eR2x+c4e-R2x+d1x(20)

la< xl时:

u'cx=c5eR1x+c6e-R1x+c7eR2x+c8e-R2x+d2l-x(21)

式中: c1c2c3c4c5c6c7c8为待定系数; R1=b2-b1; R2=b2+b1; b1=-a2/2a1; b2=a22-4a1a3

联立式(15), (16), (20), (21)可得钢梁截面几何对称轴位置处的应变为:

0xla时:

u's0x=β-R12αc1eR1x+β-R12αc2e-R1x+β-R22αc3eR2x+β-R22αc4e-R2x+γ1x(22)

la< xl时:

u's0x=β-R12αc5eR1x+β-R12αc6e-R1x+β-R22αc7eR2x+β-R22αc8e-R2x+γ2l-x(23)

式中:

α=EcAc/ks1-EsAszsbzdB0,

β=1+EcAczdzd+zsbB01-EsAszsbzdB0,

γ1=βd1-lbzdB0lP,

γ2=βd2-lazdB0lP

根据双层结合面简支梁位移连续条件, 轴力连续条件和剪切滑移差的连续条件, 可得如下8个边界条件:

u'c00=0, u's00=0, u'c0l=0, u's0l=0, u'c0la=u'c0la, u's0la=u's0la, uc0la=uc0la, us0la=us0la

将式(20)~(23)代入上述边界条件, 可得含有 c1~c8八个待定系数的线性方程组, 写成矩阵形式为:

A·C=B(24)

式中:

C=c1c2c3c4c5c6c7c8T

A=111100000000eR1le-R1leR2le-R2lαR1αR1αR2αR200000000αR1eR1lαR1e-R1lαR2eR2lαR2e-R2leR1lae-R1laeR2lae-R2la-eR1la-e-R1la-eR2la-e-R2laαR1eR1laαR1e-R1laαR2eR2laαR2e-R2la-αR1eR1la-αR1e-R1la-αR2eR2la-αR2e-R2laR1eR1la-R1e-R1laR2eR2la-R2e-R2la-R1eR1laR1e-R1la-R2eR2laR2e-R2laαR1R1eR1la-αR1R1e-R1laαR2R2eR2la-αR2R2e-R2la-αR1R1eR1laαR1R1e-R1la-αR2R2eR2laαR2R2e-R2laB=0000-d1la+d2(l-la)-γ1la+γ2(l-la)-d1-d2-γ1+γ2

式中: αR1=(β-R12α), αR2=(β-R22α)

解方程(24)可得:

C=A-1B(25)

由公式(17)(20)(21)(22)(23)(25)可以得到双层结合面组合梁的挠曲线方程表达式如式(26)所示:

w(x)=cα1R12c1eR1x+cα1R12c2e-R1x+cβ1R22c3eR2x+cβ1R22c4e-R2x+16cγ1x3+c9x+c10, 0xlacα1R12c5eR1x+cα1R12c6e-R1x+cβ1R22c7eR2x+cβ1R22c8e-R2x+cγ2l2x2-16x3+c11x+c12, la< xl26

式中: c9 , c10 , c11 , c12 为待定系数, 根据集中荷载作用下简支梁的位移边界条件w(0)=0, w(l)=0, w'(la)=w'(la), w(la)=w(la)可得如下方程:

A'C'=B'(27)

式中:

A'=0 01 00 l0 1la-la1-11-10 0, C'=[c9 c10 c11 c12]T, B'=[B1 B2 B3 B4]T, B1=-cαc1R12-cαc2R12-cβc3R22-cβc4R22, B2=-cαc5R12eR1l-cαc6R12e-R1l-cβc7R22eR2l-cβc8R22e-R2l-cχ2l33, B3=cα(c5-c1)R12eR1la+cα(c6-c2)R12e-R1la+cβ(c7-c3)R22eR2la+cβ(c8-c4)R22e-R2la+cγ2l·la2-la36-cγ1la36B4=cα(c5-c1)R1eR1la+cα(c6-c2)R1e-R1la+cβ(c7-c3)R2eR2la+cβ(c8-c4)R2e-R2la+cγ2l·la-la32-cγ1la22

cα=EcAcEsAszsbksB0-EsAszsbzdR12-EcAczd+zsb+EsAszsbB0-EsAszsbzd,

cβ=EcAcEsAszsbksB0-EsAszsbzdR22-EcAczd+zsb+EsAszsbB0-EsAszsbzd,

cγ1=lbPlB0-EsAszsbzd-EcAczd+zsb+EsAszsbB0-EsAszsbzdd1, cγ2=laPlB0-EsAszsbzd-EcAczd+zsb+EsAszsbB0-EsAszsbzdd2

由式(27)可解得 c9c10c11c12四个待定系数系数:

C'=A'-1B'(28)

3 算例及分析

为验证本文推导公式的正确性, 以横断面如图5所示的跨度为2 m, 10 kN的集中力作用于跨中截面的双层结合面碳纤维-钢-混凝土简支组合梁为例, 计算了当栓钉直径由小到大(即交界面的剪切刚度由小到大)逐渐增加过程中的跨中挠度, 将本文给出的解析解与按简单梁理论计算的结果进行了比较, 对比结果如图6, 图7所示.从图6中可以看出:在交界面剪切刚度逐渐增加过程中, 跨中挠度从无相互作用的最大值开始逐渐接近完全相互作用对应的简单梁理论计算结果, 符合预期结果.图7给出了跨中集中力作用下, 当组合梁在交界面处无相互作用, 部分相互作用, 完全相互作用时的挠曲线, 部分相互作用对应的挠曲线位于无相互作用和完全相互作用对应的挠曲线之间, 进一步验证了本文给出的计算方法的准确性.从图6图7给出的结果中可以肯定本文推导的基本理论是合理的, 可信的.

图5 组合梁一般构造(mm)Fig.5 Composite beam general construction unit(mm)

图6 跨中挠度与栓钉直径的关系Fig.6 Span deflection relationship with stud diameter

图7 挠度曲线Fig.7 Deflection curve

碳纤维-钢-混凝土组合梁三种材料能够共同协调受力的关键是在交界面设置了一定数量的剪力连接件(即本文对应的栓钉), 但目前栓钉直径和间距的设置主要依靠经验算法, 利用本文的理论可以精确计算出交界面处的剪力集度, 根据公式(7)和文献[6]给出的剪切刚度计算方法, 可以方便地计算出栓钉的布置数量, 为实际工程设计栓钉提供了准确的理论依据.剪力集度沿梁长的分布曲线如图8所示, 从图8中可以看出, 在跨中集中力作用下, 支点附近的剪力集度较大, 栓钉沿梁长的间距应与剪力集度的分布规律一致, 或者保守地按支点处的剪力集度等间距布置栓钉.

图8 交界面剪力集度曲线Fig.8 Interface shear stress curve

4 结 论

(1)基于弹性力学理论推导了具有双层结合面的碳纤维-钢-混凝土组合梁在集中荷载作用下的解析解, 建立了在竖向集中荷载作用下考虑交界面剪切滑移的具有双层结合面的组合梁应变和位移表达式.

(2)通过算例验证了该解析解的正确性, 解决了在考虑剪切滑移时的双层结合面组合梁无解析计算的难题, 为该组合梁的工程应用奠定了理论基础.

(3)通过具体算例说明了在设计组合梁剪力连接件时, 应沿梁长变间距布置.

The authors have declared that no competing interests exist.

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