螺旋锥齿轮和准双曲面齿轮广泛应用于轿车、重型卡车、矿用车驱动桥以及航空飞机变速器等传动系统的动力传递, 它是当前交错轴或者非交错轴之间应用最为广泛的动力传递方式之一。准双曲面齿轮与螺旋锥齿轮主要区别为, 螺旋锥齿轮是两个旋转轴相互交错, 准双曲面齿轮是旋转轴不交错并且有一定的偏置距。准双曲面齿轮的设计与传动系统其他部件的设计一样, 需要提高其可靠性、耐久性、功率密度(功率与质量之比)、动力传递效率, 同时降低制造成本、噪声等。但对于这些复杂的, 看似相互矛盾的齿轮设计要求, 传统的公式设计方法不能满足, 因此, 需要利用先进计算机建模方法, 在齿轮设计阶段综合考虑设计要求。在齿轮众多设计要求中, 可靠性尤为重要。齿轮的失效主要有两种形式, 一种是接触疲劳失效, 这种失效形式主要与齿轮的润滑状态、载荷以及齿面的参数有关; 另一种是齿轮弯曲疲劳失效, 当一个轮齿断裂, 则整个动力传输立刻中断, 此类失效形式比接触失效更为灾难性, 齿轮弯曲疲劳失效与轮齿啮合过程中齿根部位的应力状态直接相关^[1]。

不同类型的齿轮在齿根位置的应力状态完全不同。直齿渐开线齿轮在啮合过程中, 齿轮受到单轴拉压应力, 而准双曲面齿轮由于在啮合过程啮合位置和啮合力方向逐渐变化, 因此, 啮合过程中齿根经历更为复杂的多轴应力状态^[1], 此类齿轮空间结构复杂, 当前制造和生产过程中仍然面临着诸多难题^{[2, 3]}。目前, 国内外齿轮齿根弯曲应力研究大多集中在平行轴式齿轮、斜齿轮等, 而对准双曲面齿轮的研究主要是考虑单个轮齿或者多个齿轮^{[2, 3, 4, 5, 6]}, Handschuh等^[3]建立了螺旋锥齿轮三个轮齿对的有限元模型, 并将一个轮齿边缘固定, 另外一个轮齿施加转矩。Litvin等^[4]建立了整个齿胚的有限元模型, 模型约束方式与文献[3]类似。唐进元等^[2]建立了整个齿胚的有限元模型, 并对轮齿接触进行动力学分析, 在小齿轮施加转速, 大齿轮施加转矩。以上有限元建模过程中在大小齿轮或者轮齿上进行人为的边界约束, 并在一个确定的位置上加载扭矩来预测齿根部位的应力。这种方法主要有两点不足, 第一, 必须在齿轮或者轮齿上定义边界条件去模拟整个齿轮; 第二, 必须确定齿轮力的加载方式。而实际的准双曲面齿轮啮合过程中受到半轴、驱动桥以及轴承变形的影响, 简单的集中力转速施加在齿轮或者轮齿并不能反映实际的应力状态。随着计算机性能的提高, 已有学者^{[7, 8, 9]}建立了驱动桥整体有限元模型, 将阻力矩和转速分别直接加载在驱动桥输入端和输出端上, 并研究各部件之间的相互作用关系, 表明整体驱动桥有限元模型能够更好地模拟实际驱动桥的工况, 但对准双曲面齿轮啮合过程中准双曲面齿轮齿根弯曲应力详细研究较少。

齿轮在啮合过程中具有大转角的几何非线性以及接触非线性, 使得齿轮啮合过程中具有很强的非线性, 不能通过建立简单的数学模型来模拟齿轮非线性啮合过程, 当前应用比较多的是利用有限元方法进行齿轮啮合分析^{[4, 5, 6, 7, 8, 9]}。齿根弯曲应力有限元分析主要分为静态有限元分析^{[2, 4]}和动态有限元分析^[8]。文献[3]研究表明, 准双曲面齿轮啮合过程中齿轮啮合速度对齿根弯曲应力的影响不大, 齿轮静态啮合过程中齿根弯曲应力的变化可以反映齿轮在实际运行过程中齿根弯曲应力的变化规律。在准双曲面齿轮有限元建模过程中, 由于齿轮空间结构复杂, 极易导致有限元网格严重扭曲, 使得有限元分析过程不收敛或者计算值不准确。当前, 准双曲面齿轮静态有限元啮合分析方法主要有两类:第一类, 将一个齿轮固定, 另一个齿轮加载载荷^[4]; 第二类, 将一个齿轮固定, 另一个齿轮加载, 接着将齿轮旋转一个小角度, 将一个齿轮固定, 另一个齿轮加载, 依此类推, 得到齿轮轮齿在一个啮合循环过程中齿根应力变化情况^[2]。以上齿轮齿根弯曲应力分析方法不能得到轮齿啮合过程中啮合应力连续变化。因此, 建立真实反映准双曲面齿轮啮合过程的整体驱动桥静态有限元模型具有重要意义。

本文以某汽车整体后驱动桥为研究对象, 建立了整体驱动桥有限元模型, 利用ABAQUS/Standard静态通用求解器对准双曲面齿轮多齿接触的非线性啮合过程进行模拟, 得到齿轮齿根部位应力变化规律, 并将数值仿真结果与试验结果进行了对比分析。

要建立驱动桥高精度的整体有限元模型, 首先需要建立汽车驱动桥整体几何模型, 汽车驱动桥组成见图1, 包括主减速器, 差速器, 半轴, 轮毂, 桥壳, 差速器壳, 主减速壳体及支持轴承等部件。其中, 大部分部件可根据零件图纸直接在CATIA中建立三维数字模型, 但由于主减速器中准双曲面齿轮的轮齿齿面为空间复杂曲面^{[4, 10]}, 因而通过三维建模软件直接建模非常困难。

图1

Fig.1

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图1 驱动桥主要组成Fig.1 Main components of drive axle

对于准双曲面齿轮齿面的建模方法, 国内外有很多学者进行了研究^{[11, 12, 13, 14, 15, 16]}, 准双曲面齿轮加工方法主要分为成形法(Formate)或者展成法(Generate)对轮齿进行切割, 并利用端面铣刀(Face-milling)或者端面滚刀(Face-hobbing)加工方法进行齿轮加工, 当前应用最为广泛的是利用端面铣刀法(FM)加工的格林森(Gleason)制准双曲面齿轮。随着数控机床(CNC)^{[12, 13, 14]}的发展, 为了减小齿轮在啮合过程中的振动噪声, 改善齿轮的啮合润滑条件, 利用刀倾法(Tilt)以及变性法(Modified-roll)分别对刀具轮廓进行设计和增加摇台自由度, 从而对齿轮轮廓进行修饰。目前, 格林森制准双曲面齿轮加工方法主要分为^[15]HF(G)T(Hypoid gear formate/generate tilt), HF(G)M(Hypoid gear formate/generate modified roll), 由于刀倾法HF(G)T只需在原来机床的基础上重新设计刀具轮廓, 因而得到了广泛应用。HGT在利用展成法加工工件过程中, 工件与摇台一起旋转, HFT在利用成形法加工齿轮过程中, 摇台固定, 可看作展成法的一种特殊情况。汽车用准双曲面齿轮中, 一般地, 当大轮锥角较大时既可以采用成形法加工, 也可以采用展成法加工; 当大轮锥角较小时必须采用展成法加工, 小轮采用展成法加工。本文所研究的齿轮采用格林森制展成法加工小齿轮, 成形法加工大齿轮, 从上面分析可知, 成形法加工是展成法特例, 本文只列出基于展成法齿面建模方法。

图2

Fig.2

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图2 准双曲面齿轮齿面建模流程Fig.2 Flow chart of hypoid gear tooth surfaces constructed

HFT齿面建模中应用最多的是基于Litvin等^[16]提出的共轭曲面法。Litvin通过研究准双曲面齿轮的生产过程, 将齿轮加工过程中刀具旋转运动产生的点通过空间变换得到齿轮面上的点。由于利用Litvin提出的方法得到齿轮面的点为有限离散的数据点, 为生成高精度的齿轮面, 需要对其进行插值^[10]。齿轮面精确建模方法的具体构建流程见图2, 图中u、θ 为刀具旋转所形成齿面参数, ψ 为齿胚旋转角度。建模过程描述如下:根据刀具参数得到刀具坐标矢量; 对上述矢量进行坐标变换得到刀具所形成曲面; 根据机床参数将刀具曲面变换到齿轮坐标系中, 根据准双曲面齿轮啮合原理得到啮合方程; 根据轮齿面上点必须在轮齿齿胚上, 得到轮齿齿面离散点; 对这些离散点利用非均匀B样条曲线(NURBS)进行重构^[10], 得到准双曲面大小齿轮三维模型, 如图3所示, 对建立的三维零件按照图纸在CATIA中进行装配, 利用DMU装配模型进行运动仿真, 并对各个运动部件之间进行干涉和间隙检查, 得到整体驱动桥三维数字模型。

图3

Fig.3

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图3 准双曲面齿轮三维数字模型Fig.3 3D digital model of hypoid gear

将第2节建立好的模型提交给ABAQUS/Standard求解器, 最后得到有限元分析结果。图7为齿轮啮合过程中大、小齿轮对应的Mise应力。从图中可以看出, 齿面Mise应力在相邻三个轮齿上分布, 理论上, 准双曲面齿轮大小齿轮齿面啮合过程为点接触^[16], 但由于齿面弹性变形以及轴承支持变形的影响, 使得齿面出现近似接触椭圆, 为分析轮齿在整个啮合过程中齿根弯曲应力变化规律, 需对齿根位置弯曲应力进一步研究。图8为齿胚轮廓定义, 为了更好地观察, 将单个轮齿圆角过度曲面映射到一个长方形平面上, 长方形长度方向从左到右为轮齿小端到大端, 宽度方向为圆角起始位置(ST)到齿轮接触起始位置(ED)。图9为小齿轮轮齿整个啮合过程中凹面齿根部位瞬时最大主应力变化云图, 为方便显示, 图中从上到下依次选取啮合过程中5个位置, 图中水平轴和竖直轴分别相对于齿宽和齿轮圆角过度处尺寸进行归一化处理。齿轮在啮合过程中啮合线从大端向小端移动, 齿根部位最大主应力也跟随变化, 由于本驱动桥整体模型考虑到桥壳、轴承、主减速器壳等变形对齿轮啮合的影响, 使得在小齿轮进行啮合时, 即小齿轮大端开始接触时达到最大(大约530 MPa), 此点为齿轮啮合过程中小齿轮的危险点。图10为位于小齿轮齿根部位危险点最大主应力位置对应单元的3个主应力变化的时间历程, 从图中可以看出, 齿轮在啮合中占主导地位的是第一主应力和第三主应力, 此处单元在整个啮合过程中先受到压应力(第三主应力), 然后受到拉应力(第一主应力), 如假设在此位置贴上虚拟应变片, 则此处应变片应力变化过程如图11所示。

图7

Fig.7

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图7 大、小齿轮啮合中Mise应力Fig.7 Mise meshing stress of gear and pinion

图8

Fig.8

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图8 齿胚轮廓定义Fig.8 Geometrical definition of hypoid gear

图9

Fig.9

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图9 小齿轮啮合过程中齿根最大弯曲应力Fig.9 Maximum bending stress in tooth root of pinion during meshing process

图10

Fig.10

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图10 小齿轮齿根危险点处主应力变化历程Fig.10 Danger point changes history of stress at pinion tooth root

图11

Fig.11

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图11 小齿轮齿根危险点虚拟应变片应力变化历程Fig.11 Stress changes history of virtual strain gauge at dangerous point for pinion tooth root

图12

Fig.12

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图12 大齿轮啮合过程中齿根最大弯曲应力Fig.12 Maximum bending stress in tooth root of gear during meshing process

类似可以得到被动齿轮轮齿凸面在整个啮合过程中齿根部位第一主应力变化云图, 如图12所示, 图中从上到下依次选取啮合过程中与小齿轮上述位置相对应的5个位置。从图中可以看出, 由于本驱动桥整体模型考虑到驱动桥其他部件变形的影响, 使得被动齿轮齿根部位最大主应力出现在靠近小端位置, 最大主应力值为600 MPa, 此点为齿轮啮合过程中大齿轮齿根危险点。主被动齿轮最大主应力云图的差异主要是由于齿轮齿面和齿根部位几何形状不同导致的。图13为大齿轮齿根危险点处对应最大第一主应力位置单元在整个啮合过程中对应的第一主应力、第二主应力、第三主应力时间历程。从图中可以看出, 齿轮在啮合过程中第一主应力和第三主应力占主导地位, 齿根部位单元先受到拉应力, 最后受到压应力, 如假设在此位置贴上虚拟应变片, 则此处应变片应力变化过程如图14所示。

图13

Fig.13

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图13 大齿轮齿根危险点处主应力变化历程Fig.13 Danger point changes history of stress at gear tooth root

图14

Fig.14

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图14 大齿轮齿根危险点虚拟应变片应力变化历程Fig.14 Stress changes history of virtual strain gauge at dangerous point for gear tooth root

对比主被动齿轮在整个啮合过程中齿根部位应力变化规律可以得出, 本文基于整体驱动桥的准双曲面齿轮在啮合过程中由于考虑到整体驱动桥桥壳主减速器、半轴、轴承等部件变形的影响, 使得小齿轮凹面齿根部位在进入啮合时(即齿轮大端)弯曲应力达到最大值, 齿根部位先受到压应力, 再受到拉应力, 大齿轮凸面齿根部位离开啮合时(即齿轮小端)弯曲应力达到最大值, 齿根部位先受到拉应力, 再受到压应力。

对比文献[2]中单独只考虑准双曲面齿轮所得到的轮齿齿根弯曲应力分布可知, 驱动桥准双曲面齿轮在实际加载运行过程中会由于受到驱动桥支撑刚度、主减速器支撑刚度以及驱动桥其他部件的影响, 使得齿轮的啮合与单独考虑准双曲面齿轮啮合时不同, 因此驱动桥齿轮设计时不仅要单独分析准双曲面齿轮的啮合, 而且还需对准双曲面齿轮安装在驱动桥上处于加载状态下进行齿轮的啮合分析。

(1)建立了基于整体汽车后驱动桥准双曲面齿轮有限拟合模型, 并利用ABAQUS/Standard求解器对有限元模型进行求解。

(2)对驱动桥准双曲面齿轮啮合过程中齿根弯曲应力进行了分析, 结果表明:小齿轮在啮合过程中靠近大端齿根弯曲应力最大, 齿根部位危险点处先受压后受拉; 大齿轮啮合过程中靠近小端齿根弯曲应力最大, 齿根部位危险点处先受拉后压。

(3)驱动桥台架试验与仿真得到的准双曲面大齿轮齿根弯曲应力值对比表明, 本文建立的有限元模型具有较高精度。

(4)通过本文建立的驱动桥准双曲面齿轮齿根应力的预测方法可以全面检查驱动桥准双曲面齿轮在加载时齿轮的啮合, 在驱动桥准双曲面设计时, 可以首先单独考虑准双曲面齿轮啮合, 然后基于整体驱动桥对准双曲面齿轮设计参数进行优化。