本文研究两条平行的U型装配线, 见图1, 用L₁、L₂分别表示两条U型装配线, 将U型装配线工作区域在平面上分成了4行(z=1, 2, 3, 4)和不同的列(q=1, 2, …, Q; Q为装配线队列的总数), 工作站用表示。企业可以根据产品结构和实际生产情况进行不同的工作站划分。两条相邻的装配线之间的工作站称为多线工作站(例如:, 等), 位于多线工作站的操作员可以在两条线上完成作业; 位于装配线内部(图中显示为L₂)的工作站叫做交叉工作站(例如: S12, 3等), 位于这些工作站的操作员可以在此区域内执行作业; 同样, 也有常规工作站(例如:等), 在该工作站中操作员只可以在一个特定装配线和区域执行工作。

图1

Fig. 1

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	图1 平行U型装配线系统示意图Fig. 1 Schematic diagram of parallel U-shaped assembly line system

对于装配线平衡问题本文进行第一种情况研究, 即给定装配线节拍, 最小化装配线上的工作站数目。设定生产节拍用r表示, 作业元素集合用F={1, 2, …, k}表示, F_k表示第k个作业元素, 作业元素时间用T表示, 工作站用S表示, S={1, 2…, N}, S_i表示第i个工作站所包含的作业元素集合。

在确定了生产节拍和作业元素时间之后, 装配线平衡就是在满足约束条件的前提下, 使工作站数目达到最小, 并使闲置时间最小, 装配线的平衡率达到最高。故装配线组织必须满足以下约束条件:

(1)同一个作业不能同时分配给两个工作站, 即不可能出现S₁={1, 2, 3}, S₂={1, 4, 5}。

(2)所有作业都必须分配到工作站, 即所有工作站作业元素集合的并集等于F。

(3)每个工作站内作业元素时间之和必须小于或等于生产节拍。

(4)所有作业元素必须按照作业元素优先关系图来分配到工作站。

建立装配线平衡问题数学模型如下。

目标函数:

minY={N× r- ∑k=1KT₁(F_k)- ∑k=1KT₂(F_k)}

约束条件:

S_i ⋃i≠jS_j=∅

⋃Ni=1S_i=F

∑k∈SiT(F_k)≤ r

式中:N为工作站数目; r为生产节拍; k为第k个作业元素; T₁(F_k)、T₂(F_k)分别为分配给装配线L₁ 、L₂的作业元素F_k的作业时间。

装配线中每个作业的分配都与作业元素紧前关系及后续作业数量有关。对于作业元素之间的优先关系, 根据有向图理论, 用优先关系矩阵来表示作业之间的紧前关系。故引入一个K维(K为作业元素个数)矩阵P(i, j), 表示各作业元素间的紧前关系, 其矩阵元素可定义如下:

P(i, j)= 0, 作业元素i不是j的紧前元素1, 作业元素i是j的紧前元素

根据优先关系图建立P矩阵, 根据作业时间表建立T列阵, P与T相乘求得T(F_k), 再求优先关系权重值, 步骤如下:

(1)计算每一个作业元素k的时间位置权重F_tk。

NT_lk=T+ ∑p∈WkT

式中:W_k为作业元素k的后续作业元素集合; NT_lk为作业元素k的作业时间与全部后续作业元素时间之和, l为第l条U型装配线, l=1或2; T为第k个作业元素的时间; T 为第k个作业元素的后续作业时间。

在装配线上, 根据NT_lk值按升序排列所有的作业元素, 对于NT_lk值最小的作业元素赋予时间位置权重F_tk=1, 对于NT_lk值次小的作业元素赋予时间位置权重F_tk=2, 如果作业元素NT_lk值相同, 则被赋予相同的时间位置权重F_tk。依次类推, 直到所有作业元素都被赋予F_tk。

(2)计算每一个作业元素k的后续作业量权重F_hk。

NH_lk=Count{W_k}

式中:NH_lk为作业元素的后续作业元素个数。

在装配线上, 根据NH_lk值按升序排列所有的作业元素, 对于NH_lk值最小的作业元素赋予后续作业量权重F_hk=1, 对于NH_lk值次小的作业元素赋予后续作业量权重F_hk=2, 如果作业元素NH_lk值相同的, 则被赋予相同的后续作业量权重F_hk。依次类推, 直到所有作业元素都被赋予F_hk。

(3)计算每一个作业元素k的优先关系权重值R_pk。

R_pk=F_tk× F_hk

计算出作业元素的优先关系权重值R_pk后, 列出未分配的作业, 从第一个工作站开始分配, 由当前的工作站决定两条装配线上可利用的作业元素, 生成可利用的作业列表。

检查分配作业的原则是:作业未被分配; 作业没有紧前(紧后)作业, 或者它的所有的前任作业(后任作业)都被分配, 并且作业是按照优先关系图表的前后关系所分配的; 当前工作站的剩余容量(时间)足够执行该作业。

每当一个作业被分配时, 作业列表就会更新一次, 选择另一个新的作业并且分配给当前工作站, 一直持续到当前工作站没有容量(时间)来完成作业。当从优先关系图前部分配作业元素时, 选择优先关系权重最大的作业元素, 当从优先关系图后部分配作业元素时, 选择优先关系权重最小的作业元素, 同时必须兼顾作业元素时间, 使当前工作站的闲置时间尽可能小, 满足目标函数。

装配线平衡问题的效果采用时间损失系数ε 、平衡率BP和平滑系数SI评价^[9]。平衡率衡量整个装配过程中装配线平衡和对时间利用效率的指数。时间损失系数衡量装配线对时间的有效利用程度。时间平滑系数衡量装配线负荷的均匀程度。因此, 建立装配线平衡的效果评价数学模型为:

ε = N×r-∑k=1KT1(Fk)-∑k=1KT2(Fk)N×r× 100%

BP=1-ε

SI= ∑i=1NTemax-Tei2

式中:T_ei为每i个工作站被分配作业元素的作业时间总和; T_emax为工作站中作业时间总和的最大值。如果最大值等于节拍, T_emax取节拍, 系统达到最优; 如果小于节拍, 则还可以继续优化。

根据有向网络理论求出作业元素的优先关系权重, 计算结果见表2。

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 作业元素优先关系权重表 Table 2 Priority relation weight table of job elements 作业元素 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 车 模 1 NTlk 19 18 18 18 22 16 13 17 12 9 5 2 NHlk 5 5 5 5 4 4 3 3 3 2 1 0 ftk 10 9 9 11 6 7 5 8 4 3 2 1 Fhk 6 6 6 6 5 5 4 4 4 3 2 1 Rpk 60 54 54 66 30 35 20 32 16 9 4 1 车 模 2 NTlk 24 22 20 22 19 18 16 13 13 10 8 4 NHlk 5 5 5 5 4 4 3 3 3 2 1 0 Ftk 10 9 8 9 7 6 5 4 4 3 2 1 Fhk 6 6 6 6 5 5 4 4 4 3 2 1 Rpk 60 54 48 54 35 36 20 16 16 9 4 1

表2 作业元素优先关系权重表 Table 2 Priority relation weight table of job elements

在实验室两条平行直线型装配线上对车模1和车模2进行装配及组织设计。车模1和车模2所需的最低工作站数均为5。根据启发式算法分配作业元素, 其装配线工作站布置及作业元素分配见表3。

直线型装配线设计平面简图见图3。根据装配线的平衡效果评价模型, 综合考虑两条直线型装配线的平衡率BP=85%, 总的闲置时间为15 s。

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 作业元素分配信息及时间表 Table 3 Information and time table of job elements 工作站 车模1(装配线L1) 车模2(装配线L2) 分配的作业元素 作业时间/s 闲置时间/s 分配的作业元素 作业时间/s 闲置时间/s 1 ①④ 10 0 ①④ 9 1 2 ②③⑤⑥ 10 0 ②③⑤⑥ 10 0 3 ⑧ 8 2 ⑦⑧ 9 1 4 ⑦⑨ 7 3 ⑨⑩11 9 1 5 ⑩ 9 1 4 6 总计 44 6 41 9

表3 作业元素分配信息及时间表 Table 3 Information and time table of job elements

图3

Fig.3

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	图3 直线型装配线工作站布置图Fig.3 Workstation layout diagram of straight line-shaped assembly line

对现有实验室装配线进行改进, 采用两条U型装配线平行布置。根据表2中优先关系权重对装配线分配作业元素。具体分配步骤见表4。从表4中可见, 当前工作站的剩余时间是在每一个作业元素分配到当前工作站后确定。在每个作业元素分配后, 算法从更新后的任务列表中继续挑选和分配下一个作业元素, 持续进行到当前工作站没有足够的剩余时间完成任何一个作业。继续将任务分配到下一设定工作站, 所有作业元素全部分配到两条装配线上。

装配线工作站分配结果见图4, 分成了9个工作站, 装配线的平衡率BP=94.4%, 闲置时间为5 s。

表4

Table 4

表4(Table 4)

表4 分配步骤 Table 4 Assignment steps 步骤 当前工作站 L1可选的作业 L2可选的作业 选择的作业 工作站时间/s 工作站闲置时间/s 1 ①②③④ ①②③④ ④∈ L1 6 0 2 ①②③ ①②③④ ①∈ L1 10 0 3 S12, 3 — ①②③④ ①∈ L2 5 1 4 S12, 3 — ①②③④ ∈ L2 9 1 5 S13, 4 ∈ L1 2 1 6 S13, 4 ∈ L2 6 1 7 S13, 4 ∈ L1 9 1 ︙ ︙ ︙ ︙ ︙ ︙ ︙ 18 S31, 2 ③⑤ ⑦ ③∈ L1 2 0 19 S31, 2 ⑤⑥ ⑦ ⑦∈ L2 8 0 20 S31, 2 ⑤ — ⑤∈ L1 10 0 21 ⑥⑧⑨ — ⑥∈ L1 3 0 22 ⑦⑨ — ⑦∈ L1 7 0 23 ⑨ — ⑨∈ L1 10 0 24 ⑧ — ⑧∈ L1 8 2

表4 分配步骤 Table 4 Assignment steps

图4

Fig.4

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	图4 平行的U型装配线工作站布置图Fig.4 Workstation layout diagram of parallel U-shaped assembly line

根据计算结果, 将直线型和U型两种类型的装配线平衡效果进行比较, 结果见表5。

从表5可以看出, 与直线型相比较, U型装配线工站数减少1个, 装配线的平衡率提高了11.1%, 时间损失系数降低了62.6%, 时间平滑系数降低了64.4%。

表5

Table 5

表5(Table 5)

表5 两种装配线平衡效果比较表 Table 5 Comparison table of balance effect of two kinds of assembly lines 性能参数 直线型 U型 优化效果 工站个数 10 9 -1 平衡率BP/% 85 94.4 +11.1 时间损失系数/% 15 5.6 -62.6 平滑系数SI 7.3 2.6 -0.64

表5 两种装配线平衡效果比较表 Table 5 Comparison table of balance effect of two kinds of assembly lines