由于声场的存在, 导致其周围空气折射率发生改变^{[15, 25]}, 图1为利用LDV测量声场的示意图, 当激光穿过声场所在区域时, 其光程发生改变。在声场附近放置一个静止的反光板, 激光光程的改变将等效为反光板以 Δl振动, 此即LDV测量声场的理论依据。LDV测量声场时不能直接得到声场内各点声压值, 但LDV速度输出 υLDV(t)与激光路径上声压 p(l, t)的积分成正比^[26], 可用式(1)描述 υLDV(t)与空气中非均匀声场声压分布 p(l, t)之间的关系:

υLDV(t)=1c2ρ×n-1n∫0Lp(l, t)dtdl(1)

图1

Fig.1

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	图1 利用LDV测量声场的示意图Fig.1 Diagram of acoustic field measurement using LDV

式中:n、c和ρ 分别为空气中的折射率、声速和空气密度; L为激光发射头与反光板之间的距离。

考虑到谐振腔内的声压呈正弦式(或余弦式)周期变化, 忽略高声场强度下的高次谐波的产生, p(l, t)可以表示为:

p(l, t)=p(l)cos(2πft+φ(l))

式中:p(l)为l处声压幅值, 基于式(1)(2), 当谐振腔内形成驻波时, LDV速度输出幅值 υLDV近似为:

υLDV=2πfc2ρ×n-1n∫0Lp(l)dl

如式(3)所述, υLDV与激光路径上声压的积分成正比, 此即LDV测量声场声压的基本原理, 为了验证该原理的正确性, 本文利用COMSOL软件, 仿真非轴对称声场中某截面的声压分布, 并将此声压进行Radon变换得到仿真的LDV速度输出幅值 υsLDV, 并与后面实验测得的LDV速度输出幅值 υeLDV相比较, 从而验证式(3)测量原理的正确性。本文中的Radon变换可以实现声压 p(l)在各个方向等距平行直线上的积分, 可通过Matlab中的函数radon(· )实现。

为了得到声场中声压的分布, 需要将 υLDV利用某种算法进行处理, 这一过程称之为声场重建。通常情况下, 单轴式悬浮器谐振腔为轴对称形状, 因而产生轴对称声压分布, 这时LDV仅需沿同一方向扫描声场并利用Hankel-Fourier (HF)法便能实现声场的重建^{[23, 28]}; 但当单轴式超声悬浮器的辐/反射面不同轴时, 谐振腔内的声压分布是非轴对称的, 或超声传输时, 其换能器阵与反射面之间也都是非轴对称声场, 利用HF法将无法实现声场重建, 且需要LDV在不同方向扫描声场。

对于非轴对称声场的重建, 可以采用滤波反投影(FBP)法。FBP法可以通过傅立叶切片定理在极坐标下推导出来^[23], FBP重建方法的输入量为 υLDV,需要LDV测量仪器从不同 θ方向扫描声场, 图2给出了 θ方向角对应声压分布的LDV速度输出 υLDV。本研究中将LDV设备固定, 如图3所示, 建立坐标系O-XYZ(O点为辐射面凹面顶点), 通过绕Z轴旋转反射面, 实现LDV激光从不同角度 θ扫描声场平面B(即所研究截面, 该平面二维坐标系为o-xy, 与Z轴相交于点o, y轴为辐/反射面轴线所确定平面A与平面B的交线)。

图2

Fig.2

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	图2 在激光扫描方向θ 情况下平面B声压分布与其υ LDV的关系Fig.2 Relationship between acoustic pressure of plane B and its υ LDV when laser beam scans at θ direction with a spacing of τ

图3

Fig.3

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	图3 非轴对称谐振腔结构参数(θ =0° )Fig.3 Structure parameters of non-axisymmetric resonance cavity when θ =0°

利用FBP法重建声压分布可由下式实现:

p(x, y)=πK∑i=1KQθi(xcosθi+ysinθi)(4)

其中

Qθi(jτ)=τ×IFFT(FFT(η·υLDVi(jτ)))×FFT(h(jτ)×窗函数)(5)

η=c2ρ2πf×nn-1(6)

式中: p(x, y)为所研究平面B上的声压分布; K为反射面绕Z轴旋转调整的次数; Qθi(jτ)代表第i个方向第j个采样点所在位置 jτ处的滤波反投影, j为1, 2, …, J, τ为相邻平行激光扫描点之间的距离; IFFT(· )代表逆快速傅立叶变换; FFT(· )为快速傅立叶变换; υLDVi(jτ)表示i方向 jτ位置的LDV速度输出; η为比例系数; 窗函数可使变换后的数据更平滑, 这里选用Hamming窗函数^[29]。

为了找到不同悬浮模式对应的谐振腔长度, 以便针对其中一个悬浮模式进行声场声压分布识别的研究, 通过COMSOL仿真与LDV实验两种方法, 分别获得各悬浮模式对应的谐振腔长度, 并将两者做对比。

仿真时, 利用COMSOL软件中的参数化扫描功能, 设置谐振腔长度H以0.5 mm增量变化, 从17 mm增加到51 mm(与实验一致), 分别得到各谐振腔长度下对应的谐振腔内的声压分布, 谐振腔长度H与其对应的最大绝对声压|P|_max关系如图5中虚线所示。实验时, 激光穿过(0, 0, -9) mm点, 该点声压基本等于谐振腔内最大绝对声压。同样将谐振腔长度由17 mm变化到51 mm, 记录每一谐振腔长度对应的 υeLDV,将所得数据绘制成图5中实线, A、B、C、D对应的位置分别为第2~5悬浮模式, 实验中换能器振幅为1.7 mm, 测量点位置(0, 0, -9) mm。

图5

Fig.5

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	图5 谐振腔长度H与υ eLDV、|P|max的关系Fig.5 Relationship between resonance cavity length H and υ eLDV, |P|max

从图5可看出, 实验数据υ _eLDV的峰值位置与仿真数据|P|_max的峰值位置相同。各峰值点对应的谐振腔长度为19.5、28.5、37.5和46 mm, 分别对应第2~5悬浮模式。由于第1悬浮模式时最大声压发生在辐/反射面凹腔内, 该悬浮模式无法通过这一实验获得。考虑到实验观察方便, 且具有易于区分的声压结构等因素, 选择第3悬浮模式进行仿真与实验验证。

3.2.1 采用COMSOL获得声场声压

本文谐振腔内非轴对称声场来源于轴偏距L₀, 设置非轴对称声场仿真基本参数如表1所示。这里辐射面振幅设为1 μ m, 对于其他振幅下的声压值, 乘以一个比例系数即可。为了防止谐振状态时出现强烈的非线性现象, 使谐振腔长度为28 mm, 此时谐振腔内声压较稳定。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 声场仿真基本参数 Table 1 Basic parameters of acoustic field simulation 变量名 数值 变量名 数值 谐振腔长度H/mm 28 辐射面截面半径/mm 15 辐/反射面轴偏距L0/mm 6 辐射面曲面半径/mm 35 辐射面振动频率f/Hz 21028 反射面截面半径/mm 19.5 辐射面振幅A0/μ m 1 反射面曲面半径/mm 33 声速c/(m· s-1) 340

表1 声场仿真基本参数 Table 1 Basic parameters of acoustic field simulation

在COMSOL中按照图3谐振腔结构进行建模, 得到第3悬浮模式下谐振腔内YOZ截面处绝对声压分布如图6所示。

图6

Fig.6

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	图6 第三悬浮模式下谐振腔内YOZ截面处绝对声压分布Fig.6 Absolute acoustic pressure distribution in YOZ section of resonance cavity in third levitation mode

从图6可以看出, 由于辐/反射面轴偏距的存在, 使得声场声压关于Z轴非对称。理论上可以对整个声场进行扫描和声场重建, 然而需要大量时间, 因此, 实验选定截面Z=-20.5 mm, 即图3中平面B, 作为研究对象, 仿真时, 选取截面上出现最大绝对声压的相位(0° 相位或180° 相位, 该相位指辐射面振动相位), 认为声压在该相位时, υLDV值达到最大值。在平面B上划分256× 256个等距格点, 得到各点的声压值, 并保存成数据文件。由于仿真中平面B为70 mm× 70 mm, 各有256个数据点, 因此, 仿真的扫描间距τ =0.27 mm, 形成的平面B的声压分布如图7(a)所示。

图7

Fig.7

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	图7 平面B声压分布(θ =0° )Fig.7 Acoustic pressure distribution of plane B when θ =0°

3.2.2 采用Radon变换获得υ _sLDV

为了验证 υLDV与声场声压的关系, 利用Radon变换处理3.2.1节获得的平面B上声压分布, 得到该平面上0° 到179° 各方向的 υsLDV。Matlab中提供了函数 [R, J]=radon(I, θ)可以方便地进行Radon变换, 其中 I为储存原始数据的矩阵, 即COMSOL仿真得到的平面B上各点声压值, 如图7所示; θ为激光扫描方向角, FBP法要求 θ取0° ~179° ; J为激光扫描的条数, 也是 I矩阵对角线数据的个数; R为矩阵, 每一列代表一个方向的投影, 该列每一个元素代表各投影线的投影值, 即此方向该位置处的 υsLDV。图8(a)为利用Radon变换得到的各方向 υsLDV,仿真的扫描间距τ =0.27 mm, 纵坐标表示仿真的扫描位置 X,横坐标表示扫描方向 θ(0° ~179° )。 υsLDV与声压沿激光路径积分相差比例系数 η,由于实验条件等因素限制, 该系数暂时无法准确得到。为了方便与实验结果做对比, 将 υsLDV归一化, 即将所有结果除以结果中最大值。

图8

Fig.8

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	图8 仿真与实验测得的υ LDV分布对比Fig.8 Comparison of υ LDV distribution between the simulation and experiment

实验中谐振腔结构如图3所示, L₀=6 mm, H=28.0 mm。与仿真中相对应, 选择Z=-20.5 mm处的横截面(平面B)进行扫描。本实验中LDV在平面B上以1° 为增量从0° 扫描到89° , 然后将实验数据对称处理, 得到0° 到179° 共180个方向的 υeLDV。经过标定, 实验中LDV每个扫描点之间的距离为τ =0.65 mm。在后期处理数据时, 利用线性插值使每一方向的LDV扫描数据个数加倍, 提高后期FBP法重建声压的精度, 其坐标系建立方式与仿真时一致。图8给出了 υsLDV与 υeLDV分布对比, 对比发现Radon变换得到的 υsLDV与实验测得的 υeLDV分布存在较大的相似性, 该方法验证了 υLDV与声场声压的关系。

从图8中可以看出, 当θ =90° 时, X=0 mm附近 υLDV最大; 当θ =0° 时, X=0 mm附近 υLDV较小。该现象可以解释为:当θ =0° 时, 如图3所示, 激光平行于y轴, 由图8 (a)可以看出, 当激光穿过最大声压所在的位置时, 激光路径上声压有正有负, 因此一部分声压产生的声光效应被相互抵消; 而θ =90° 时, 如图3所示, 激光平行于x轴, 激光穿过最大声压所在的位置时, 激光路径上声压符号基本相同, 没有产生声压抵消, 所以后者的 υeLDV的峰值明显大于前者的 υeLDV的峰值。此外, υeLDV与 υsLDV之间存在一些区别, Radon变换中选取辐射面振动为0° 或180° 相位对应的COMSOL仿真声压作为输入数据, 而实际中LDV扫描各点对应的 υeLDV的最大值不会恰好在这两个相位产生, 仿真只是做了简化, 选择这两个相位。理论上, LDV可以测量出辐射面不同振动相位对应的 υeLDV,也就是可以得到声压的瞬时变化。

3.3.1 声场的仿真重建

基于FBP算法并利用Matlab编程, 将平面B(z=-20.5 mm截面) 上各方向的 υsLDV重建为该截面声压值, 如图8(b)所示。同时将结果与COMSOL仿真的声压(见图8(a))作对比。为了方便对比, 将声压归一化, 坐标系建立方式如图3所示。容易看出, 直接仿真得到的声压分布与FBP法重建得到的声压分布形状基本一致。

为了进一步定量观察FBP重建效果, 且考虑到声压分布关于x=0对称, 分别得到不同x位置归一化声压与y的关系曲线, 如图9(a)所示。从曲线上可以看出:仿真声压与重建声压吻合较好。其误差如图9(b)所示, 可以看出:当x=0, 仿真声压与重建声压之间相对误差在± 0.02, 因为该处声压较强, 声场大部分能量集中在这个地方, 随着x的增大, 二者相对误差扩大, 最大达到0.2(x=30 mm), 但是二者的曲线在形状上仍然是吻合的, 也就是说, 利用FBP法可以识别声场声压分布的整体形状。

图9

Fig.9

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	图9 不同x位置对应的归一化声压及相对误差Fig.9 Normalized acoustic pressure and relative error correspond to different x location

3.3.2 声场的实验重建

利用FBP算法对 υeLDV进行处理, υeLDV为均方根值, 实现非轴对称声场声压形状识别。此外, 将仿真区域平面B的大小与实验区域尺寸(52 mm× 52 mm)设置为一致。图10给出了平面B的COMSOL仿真声压与FBP重建声压对比。

图10

Fig.10

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	图10 平面B(52 mm× 52 mm)处COMSOL仿真声压与FBP重建声压对比Fig.10 Comparison between simulated acoustic pressure and reconstructed acoustic pressure of plane B(52 mm× 52 mm)

从图10可以看出, 采用 υeLDV进行重建的声压与COMSOL仿真声压在整体结构上是相似的, 实现了声场形状的识别, 但存在一定误差。误差首先来源于实际测量误差, 其次, 由3.3.1节可知, FBP重建本身存在误差。本课题组将开展利用FBP法实现瞬时声压重建的研究。