双Duffing振子逆向联合信号检测模型

引用本文

姚海洋, 王海燕, 张之琛, 申晓红. 双Duffing振子逆向联合信号检测模型[J].吉林大学学报（工学版）, 2018,48(4): 1282-1290
YAO Hai-yang, WANG Hai-yan, ZHANG Zhi-chen, SHEN Xiao-hong. Reverse-joint signal detection model with double Duffing oscillator[J]. Journal of Jilin University Engineering and Technology Edition, 2018,48(4): 1282-1290 复制到剪切板

Doi:10.13229/j.cnki.jdxbgxb20170314
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双Duffing振子逆向联合信号检测模型

姚海洋^1,², 王海燕^1,², 张之琛^1,², 申晓红^1,²

1.西北工业大学海洋声学信息感知工业和信息化部重点实验室,西安 710072

2.西北工业大学航海学院, 西安 710072

通讯作者:王海燕(1965-), 男, 教授, 博士生导师.研究方向:信号检测,目标识别,目标定位.E-mail:hywang@nwpu.edu.cn

作者简介:姚海洋(1991-), 男, 博士研究生.研究方向:混沌信号处理.E-mail:hyang@mail.nwpu.edu.cn

基金:国家重点研发计划项目(2016YFC1400200); 国家自然科学基金项目(61571365).

摘要

针对Duffing振子信号检测系统存在的输入噪声对系统扰动的影响、目标信号与内策动力的相位同步以及系统输出运动状态判断3个关键性问题,分别提出了相应的解决方法。提出了一种基于临界阈值字典的逆向相变方法,根据临界阈值随噪声强度的单调性建立临界阈值字典,有效避免了低信噪比下输入噪声对系统的扰动。提出了一种双系统联合检测方法,解决了目标信号相位和内策动力相位不同步问题,并推导出了由于相位的不遍历性导致的虚惊概率。提出了一种基于输出相空间图形表征的系统运动状态判断方法,并进行了可行性的数学证明,实现了检测结果的低运算量、高精度的嵌入式表征。最终建立了适用于工程实际的低信噪比下Duffing振子信号检测模型,使得检测概率不变的前提下最低检测信噪比大幅度降低。

关键词: 信息处理技术; Duffing振子; 信号检测; 逆向相变; 双系统联合检测; 点集拓扑

中图分类号:TN911.72 文献标志码:A 文章编号:1671-5497(2018)04-1282-09

Reverse-joint signal detection model with double Duffing oscillator

YAO Hai-yang^1,², WANG Hai-yan^1,², ZHANG Zhi-chen^1,², SHEN Xiao-hong^1,²

1.Key Laboratory of Ocean Acoustics and Sensing, Ministry of Industry and Information Technology, Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072,China

2.School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072,China

Abstract

Three efficient methods are proposed to solve three key problems in Duffing oscillator detection system, including the system perturbation by input noise, the synchronization of phase position of driving force and target signal, and the judgment of system output state. First, a reverse phase change method based on the critical threshold dictionary is proposed, where the dictionary is built on the monotonic property of the critical threshold with the change of noise intensity, so that the input signal perturbation is reduced efficiently under low Signal to Noise Ratio (SNR). Second, a double system joint detection method is proposed to solve the problem of phase position synchronization of driving force and target signal. Third, a state of system motion judgment method based on output phase space graph representation is proposed and its feasibility is proved mathematically. The embedded representation of the detection results is fulfilled with low computation and high precision. Finally, the Duffing oscillator detection model suitable to engineering practice is built under low SNR, by which the lowest detection SNR is reduced significantly with constant detection probability.

Keyword: information processing technology; Duffing oscillator; signal detection; reverse phase change; joint detection with double systems; point set topological

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0 引言

随着信息技术的需求和发展, 强噪声背景下微弱信号的检测成为国内外学者的研究热点。传统基于统计理论的信号检测方法主要靠抑制噪声, 会对原始信号产生损害, 同时也无法满足检测的低信噪比要求^{[1, 2, 3]}。20世纪90年代初, Birx等^[4]首先将混沌振子应用到信号检测, 这种基于混沌振子的检测方法可以检测更低信噪比下的微弱信号, 且不会对有用信号产生影响。

Duffing振子系统是产生混沌现象的一类常用非线性系统, 具有对噪声的免疫性和对微弱信号的敏感性, 可实现低信噪比下的微弱信号检测^{[5, 6, 7]}。然而, 将基于Duffing振子的检测方法应用到低信噪比下的信号检测中存在几个关键性问题:①Duffing振子系统处于临界状态下时, 一定强度的输入噪声可能对系统产生扰动, 改变系统运动状态, 造成信号检测结果的误判; ②输入信号中目标信号相位与系统中内策动力的相位需同步才能产生目标信号对系统的有效扰动, 而输入信号相位在实际中是未知的, 因而可能造成漏检; ③如何实现Duffing振子输出运动状态低运算量、高精度的嵌入式判断。

本文分析了输入信号中噪声的强度对临界状态下Duffing振子系统运动状态的影响, 基于临界阈值随噪声强度减小而单调递减这一特性, 提出了依托临界阈值字典的逆向相变方法, 解决了低信噪比下由于噪声对检测系统的扰动而产生误判的问题。通过公式推导, 分析了目标信号相位对检测结果的影响, 提出了一种双振子联合检测方式, 解决了低信噪比下相位同步问题对检测的影响。根据Duffing振子检测过程中相空间图形的变化, 提出了一种基于点集拓扑理论的系统运动状态判断方法, 并证明了其可行性, 实现了系统输出运动状态低运算量、高精度的嵌入式判断。基于以上方法, 最终得到了一种更加适用于工程实际的低信噪比下Duffing振子检测模型, 并得出了最低检测信噪比。

1 Duffing振子信号检测系统

Duffing振子系统是单位质量为1的粒子在势场中受外场作用力、阻尼力和势场作用力共同作用而产生的轨迹运动方程。

检测系统表述为:

$\overset{\cdot \cdot}{x} (t) + k \overset{\cdot}{x} - x^{3} (t) + x^{5} (t) = γ_{2} \cos (ω_{1} t) + s (t)$ (1)

式中: $k$ 为阻尼系数; $- x^{3} (t) + x^{5} (t)$ 为非线性恢复力; $γ_{2} \cos (ω_{1} t)$ 为内策动力, $ω_{1}$ 为内策动力频率; s(t)为输入信号, $s (t) = A \cos (ωt + φ) + n (t), 其中 A \cos (ωt + φ)$ 为目标信号。

在稳定内策动力下, 取 $ω$ 为常数, 固定 $k$ 时, 随着 $γ_{2}$ 从0逐渐增加, 系统输出相空间将依次出现:同宿轨道周期状态、分叉状态、混沌状态和大尺度周期状态4种不同的动力学状态^[8]。将待测信号作为特定参数输入临界状态下的检测系统, 利用系统所拥有的丰富的非线性动力学特点, 辨识其运动状态, 根据运动状态的变化, 最终达到微弱信号检测的目的^[9], 运动状态变化说明有信号存在, 无变化说明只有噪声存在^[10]。

2 输入信号中噪声对检测系统的影响

系统处于混沌到大尺度周期的临界状态时, 输入信号中的噪声成分可能对系统产生扰动, 使系统从临界状态运动到大尺度周期状态, 导致无法准确判断目标信号是否存在。式(1)所示Duffing振子信号检测系统临界状态内策动力幅值为0.720 649 12, 逐一减少小数点后临界阈值的位数, 分别进行100次蒙特卡罗实验, 得到不同输入噪声强度下临界阈值精度 $n 与相态不变概率 P$ 的关系曲线, 如图1所示。实际中, 背景噪声并非全频带的, 故而本文采用宽带噪声进行仿真, 带宽为1~10 kHz, 目标信号频率为2 kHz, 利用文献[9]中的变尺度方法可实现目标信号频率变化为1 Hz, 相应的宽带噪声频率也变化为0.5~5 Hz。图1中, 横坐标n为临界阈值小数点后的位数, 称为临界值精度; 图中所注方差值定义为 $q = - \lg δ, δ$ 为输入噪声方差。方差值越大, 噪声强度越小。

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	图1 临界状态下输入噪声对系统输出状态的影响Fig.1 Influence of input signal on system output state under critical state

方差值为6时, 仅临界值精度为小数点后一位时, 噪声对系统运动状态无影响; 方差值小于6时, 噪声对系统运动状态的影响具有很强的随机性, 仅当临界阈值精度为0.1时, 噪声的输入对系统运动状态无影响。对于式(1)所示的检测系统, 若采用文献[9]中的方法, 设定临界阈值为0.7, 能检测到幅值大于0.02的目标信号, 最低检测信噪比为-13.01 dB, 而本文试图检测到更低信噪比下的信号。

固定临界状态幅值为0.720 649, 改变方差大小, 得到相态不变的概率曲线, 如图2所示。固定临界状态幅值, 不同噪声强度下, 噪声对系统的影响并非确定的。仅噪声方差值为0, 即方差为1时, 蒙特卡罗实验结果得到的相态不变概率为1, 然而实际检测中并不能确保噪声的强度为1。

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	图2 临界状态下输入噪声强度对系统输出状态的影响Fig.2 Influence of input signal intensity on system output state under critical state

基于以上问题, 文献[11]中提出了针对噪声影响的逆向相变方法; 文献[12]中将噪声对系统的扰动归因于过渡带的存在, 设计了一种新的方程形式, 改善了临界相变过渡带的影响, 而两种方法应用于信号检测均要改变临界阈值。文献[12]所述方法需在检测过程中反复确认新方程的两个临界阈值, 使得检测过程复杂度大大提高, 本文基于文献[11]中的逆向相变方法, 制定临界阈值字典, 使上述噪声问题得到解决。

逆向相变方法是基于Duffing振子的相反过程, 系统的初始状态设定为大尺度周期状态, 大尺度周期状态到混沌状态的临界阈值为 $γ',$ 当输入信号中包含的同频微弱周期信号与参考信号相位相反时, 叠加后的策动力幅值将低于 $γ',$ 从而导致系统从大尺度周期状态运动到混沌状态, 进而实现信号检测。

从文献[11]中得知:输入信号中的噪声成分达到一定强度后, 会使得临界状态的系统随机地发生相变, 随着噪声强度的增加, 正向、逆向相变对内策动力幅度的分辨能力都有所降低, 正向相变临界阈值有所降低, 而逆向相变临界阈值有所升高。在利用Duffing振子系统进行检测时, 输入噪声后相态不变的临界阈值才是可用于检测的有效值, 而上述临界阈值是随着噪声强度的变化而改变的, 实际中每次检测都要根据噪声强度估算临界阈值是不现实的, 本文根据临界阈值的变化规律提出一种基于临界阈值字典的改进方法, 使得逆向相变方法得以应用到实际检测中。

设输入信号为纯噪声, 分析临界阈值随噪声强度的变化规律。噪声强度依然用方差值表示, 如图3(a)所示。为了能更直观地观察出噪声强度与临界阈值的关系, 对方差值为5~7时的临界阈值图像进行放大, 如图3(b)所示。

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	图3 输入噪声强度对系统临界阈值的影响Fig.3 Influence of input signal intensity on system critical threshold

随着方差值的增大(即噪声强度减小), 临界阈值单调递减, 且由临界阈值的大小可以看出:随着噪声强度减小, 临界阈值精度提高, 如噪声强度为-30 dB时, 临界阈值为0.723; 噪声强度为-60 dB时, 临界阈值为0.719 922 3。

仿真研究表明, 对于初值、Duffing方程系数确定的检测系统, 仅噪声强度变化对系统临界阈值有影响, 与目标信号 $A \cos (ωt + φ)$ 无关。故而, 可制定不同噪声强度下的检测阈值字典, 检测时直接根据输入噪声强度调用字典中的临界阈值进行检测。

要实现上述字典调用方法, 首先要对输入信号进行噪声强度估计^{[13, 14]}。

其次, 对于本文中的输入信号:

$s (t) = A \cos (ωt + φ) + n (t)$ (2)

制定临界阈值字典, 步骤如下:

(1)对式(1)表示的检测模型, 输入纯噪声信号 $s (t) = n (t),$ 噪声强度为P_a, 并确定噪声使得系统产生相变的最低概率阈值P_b。

(2)进行n=100次蒙特卡罗实验, 得到强度为P_a的噪声导致系统相变的概率P_c和对应的临界阈值L, 当 $P_{c} < P_{b}$ 时, L即为P_a对应的临界阈值。

(3)以一定的步长间隔分别将不同强度的噪声输入系统, 如步长m=5, 输入强度为5、0、-5、-10 dB, …的噪声, 重复上述步骤, 即可得到不同噪声强度对应的临界阈值字典。

(4)将噪声强度和临界阈值进行对应存储。

如需更加精确的检测, 只需按照需求增大蒙特卡罗实验次数n或减小步长m。基于上述方法通过仿真可知, 在步长为10的字典中, 最低可以检测到目标信号幅值为0.000 699。

3 目标信号相位对检测的影响

以上讨论中假设策动力相位与目标信号相位的差为零, 而实际检测时并不能保证两者具有相同的相位, 目标信号相位对检测结果的影响也是利用Duffing振子进行信号检测时需解决的一个问题。文献[9]中采用不同输入、不同内策动力相位的4个检测系统实现了对任意相位输入信号的检测。引入文献[15]中的相位补偿思想, 本文提出双振子联合检测方法。

对于式(1)表示的Duffing振子检测系统, 设策动力相位为 $φ,$ 将输入信号s(t)带入方程中, 得到:

$\begin{array}{l} \overset{\cdot \cdot}{x} (t) + k \overset{\cdot}{x} - x^{3} (t) + x^{5} (t) = γ_{2} \cos (ω_{1} t + \\ ϕ) + A \cos (ωt + φ) + n (t) \end{array}$ (3)

式中:ϕ , φ ∈ [-π , π ], 文献[9]中变尺度方法可实现策动力频率与目标信号频率的统一, 故而此处令 $ω_{1} = ω = 1,$ 由于仅相位差会对结果产生影响, 固定 $ϕ = 0,$ 则对方程右边进行化简可得:

式中: $θ = \arctan [A \sin φ / (γ_{2} + A \cos φ)] 。$

弱信号输入时 $A ≪ γ_{2},$ 则:

$A \sin φ / (γ_{2} + A \cos φ) \to 0$ (5)

因此 $θ \to 0$ 。

设临界阈值为 $γ,$ 则系统产生相变的条件为:

推导可得:

$π - \arccos \frac{A}{2 γ_{2}} < φ < π + \arccos \frac{A}{2 γ_{2}}$ (7)

同样地, 对于 $A ≪ γ_{2}, \frac{A}{2 γ_{2}} \to 0,$ 则 $\arccos \frac{A}{2 γ_{2}} \to \frac{π}{2},$ 结合式(7)可得:

$\frac{π}{2} < φ < \frac{3 π}{2}$ (8)

由于φ ∈ [-π , π ], 由三角函数的周期性可得:当 $- π < φ < - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < φ < π$ 时式(1)所示系统产生相变。

在输入信号相位未知的前提下, 仅考虑相位差异, 系统对目标信号的检测概率只有50%。为了消除这一影响, 引入内策动力相位补偿的思想, 令内策动力相位为-π , 则有:

故而此时:

$- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ (10)

由以上推导可知, 对于弱输入信号, 引入内策动力相位进行补偿可达到对周期内所有相位的目标信号检测的目的。利用如式(11)和(12)所示的双Duffing振子检测系统进行联合检测, 分别命名为系统1和系统2:

$\overset{\cdot \cdot}{x} (t) + k \overset{\cdot}{x} - x^{3} (t) + x^{5} (t) = γ_{2} \cos (t) + A \cos (ωt + φ) + n (t)$ (11)

$\overset{\cdot \cdot}{x} (t) + k \overset{\cdot}{x} - x^{3} (t) + x^{5} (t) = γ_{2} \cos (t - π) + A \cos (ωt + φ) + n (t)$ (12)

对未知相位的单频信号进行检测, 同时分析系统1和系统2的输出, 如图4图5所示。由于是逆向检测, 图4大尺度周期状态为相不变状态, 图5混沌状态为相变状态, 系统1和系统2的输出中有一个产生相变即判定为存在目标信号。

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	图4 系统1输出相空间Fig.4 Output phase space of system 1

以上推导过程中式(8)~(10)均基于 $A ≪ γ_{2},$ 这是一个约式, 误差会导致检测中的虚惊, 此时的虚惊概率可以估算出来。

对于如式(1)所示的检测系统, 由以上分析可知, 临界阈值稳定在0.72左右, 取临界阈值为0.72, 可检测到输入信号幅值为0.01时的单频信号, 得到:

$- π < φ < - 0.4978 π, 0.5022 π < φ < π$ (13)

$\begin{array}{l} - 0.4978 π < φ < 0.4978 π \end{array}$ (14)

故当目标信号幅度为0.01时, 检测概率为:

$1 - \frac{2 \times 0.0022}{1} = 0.9956 = 99.56 %$ (15)

同理可得信号幅度0.001时, 检测概率为99.999%。随着信号幅度的减小, 信号幅度与临界阈值的比值降低, 检测概率提高, 越来越接近1。本方法适用于远距离下能量损耗较大的弱信号的检测。

4 相空间判断方法

从以上分析可以看出, Duffing振子检测方法是基于辨识系统输出运动状态改变来实现的, 而最终判断系统运动状态为相空间图像观察方法, 这种方法不适用于工程实际, 要将Duffing振子检测方法应用于工程实践, 需将系统运动状态判断方法转化为机器语言以实现检测结果的嵌入式表征。

文献[16]中采用了Melnikov方法, 求解比较简单但是判别准确性较低。文献[17]中的Lyaponov方法对于含有噪声的Duffing振子输出相空间效果较差。文献[18]中采用了Poincare截面法, 具有较好的相空间抗噪性能, 但是要经过一阶方程转化, Poincare截面转化等步骤, 比较繁琐。为了解决这一问题, 本文结合点集拓扑理论, 针对Duffing振子检测系统输出相空间的拓扑特性的差异, 提出了一种低信噪比下高准确率、低运算量的Duffing振子运动状态判别方法。

4.1 Duffing振子运动状态判别方法

式(1)所示的Duffing振子检测系统中, 固定参数k, 改变A或 $γ_{2}$ 的值会使得系统产生不同的输出状态, 图4为大尺度周期状态, 图5为混沌状态, 由图4、图5可以看出固定参数k, 输出相空间图形在一个类似椭圆的固定范围内往复运动, 运动轨迹被限制在椭圆中或椭圆的边界附近。两种运动状态的轨迹具有不同的平面拓扑结构, 据此, 定义一个位于椭圆内的区域, 判断运动轨迹是否进入了该区域, 若含有运动轨迹, 为混沌状态; 若不含运动轨迹, 则为大尺度周期状态。噪声仅使得相空间曲线变得粗糙, 并不改变其运动轨迹。

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	图5 系统2输出相空间Fig.5 Output phase space of system 2

首先要确定上述的判定区域, 具体流程如图6所示, 其中方差 $ζ$ 的阈值 $ζ'$ 和参数 $δ$ 的值可根据实际需要进行修正。判别方法中, 噪声强弱不同:

$ζ″ = ζ' + φ$ (16)

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	图6 计算判定区域流程Fig.6 Flow chart of calculating determine area

且不必与待测信号中所含噪声方差相等。其中 $φ$ 为随噪声强弱而变化的常数。

相空间上的点对应于式(1)所示Duffing振子检测系统时域两个输出x、y的值形成的数对, 即 $(x, y) 。$ 实际判定时, 从第一个数对开始, 每隔一个周期取下一个数对进行判断是否处于区域 $Ψ'$ 中, 一旦有数对处于区域内, 则判断为混沌状态。根据混沌振子系统的特性, 若第 $M / 2$ 个点仍处于区域外, 则判定为大尺度周期状态, 其中M为输出总周期数。

4.2 可行性分析

混沌检测系统的输出相空间 $(x, y)$ 构成一个泛函 $Φ,$ 在此泛函中定义距离 $θ = ρ (x, y),$ 构成一个距离空间 $Χ,$ 记作 $(Χ, ρ) 。$ 其中, $ρ$ 满足距离空间的定义, 称为 $Χ$ 上的一个距离。距离空间 $Χ$ 是有界的并且是列紧的, 证明如下。

有界性:对于式(1)所示Duffing振子检测系统, $s (t)$ 仅对系统运动轨迹产生扰动而不影响其输出信号的幅值, 即不影响输出相空间边界, 且相位 $φ$ 对相空间边界也无影响。故式(1)所示系统可化简为:

$\overset{\cdot \cdot}{x} (t) + k \overset{\cdot}{x} - x^{3} (t) + x^{5} (t) = γ_{2} \cos (ω_{1} t)$ (17)

输出相空间中 $(x, y) = (x (t), \overset{\cdot}{x} (t)) 。$

设方程(17)的解为 $x (t) = X (t) \cos (ω_{1} t + φ (t)),$ 由于 $\cos (ω_{1} t + φ (t))$ 是有界的, 故而只需确定 $X (t)$ 的有界性, 利用谐波平衡法^[19]可得到微分方程组:

$\{\begin{array}{l} - 2 ω_{1} \overset{\cdot}{X} = k ω_{1} X + γ_{2} \sin φ \\ - 2 ω_{1} X \overset{\cdot}{φ} = ({ω_{1}}^{2} - 1) X - \frac{3}{4} X^{3} + γ_{2} \cos φ \end{array}$ (18)

解微分方程组(18)可得到 $X (t) = - \frac{γ_{2} k}{4 ω + k^{2} ω} \cos φ + \frac{2 γ_{2}}{4 ω + k^{2} ω} \sin φ,$ 故而可得:

$\begin{array}{l} |x (t)| \leq |X (t)| < |- \frac{γ_{2} k}{4 ω + k^{2} ω}| + |\frac{2 γ_{2}}{4 ω + k^{2} ω}| = \\ |\frac{γ_{2} k + 2 γ_{2}}{4 ω + k^{2} ω}| = M \end{array}$ (19)

式中: $γ_{2} 、 k 、 ω$ 均为实数。

同理可证, $|\overset{\cdot}{x} (t)| \leq |\overset{\cdot}{X} (t)| < M_{1} 。$

距离空间 $X 为二维空间, 即 x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}),$ 在此基础上定义距离:

由以上分析可知, 在如式(20)的度量下, $\forall x, y \in X,$ 均有 , 为有界子集, 由点集拓扑理论中有界度量空间定义可知, $(Χ, ρ)$ 为有界度量空间。

列紧性:显然, 相空间X是2维欧式空间 $R^{2}$ 的闭子集, 且X是有界的, 则由点集拓扑理论中的定理^[20]可知, $X$ 具有紧致性, 且X为度量空间, 故而X是列紧的。

设信号和噪声同时输入系统时形成的拓扑空间为 $Χ',$ 仅噪声输入时形成的拓扑空间为 $Χ_{0} 。$

若 $\exists x_{0} \in Χ$ 及线性子空间 $E_{0} \subset Χ,$ 使得:

$E = E_{0} + x_{0} ≜ \{x + x_{0} |x \in E_{0}\}$ (21)

则称 $E$ 为线性流形。

设 $x_{mid} = \frac{x_{\max} + x_{\min}}{2},$ 其中 $x_{\max}$ 与 $x_{\min}$ 分别为泛函 $Φ$ 中 $x$ 的最大值与最小值。泛函 $Φ$ 记作 $< y, x > 。$ 取 $ε > \frac{ρ (x_{\min}, x_{\max})}{3},$ 当 $ρ (< y, x_{mid} >, < y', x_{mid} >) > ε$ 时, 有:

$ρ_{mid x} = \inf_{x \in \underset{x = x_{mid}}{Χ}} ρ (< y, x_{mid} > - < y', x_{mid} >)$ (22)

在距离 $ρ_{mid x}$ 下, 可得到y轴方向上的两点 $(y'_{mid}, x_{mid}) 、 (y ″_{mid}, x_{mid}) 。$ 同理, 可得到x轴方向上的两点 $(y_{mid}, x'_{mid}), (y_{mid}, x ″_{mid}),$ 如图 7所示。

连接上述4点, 形成一个集合 $A,$ 则存在子集族 $Γ \subset A,$ 使得:① $A, ϕ \in Γ;$ ②若 $B, C \in Γ,$ 则 $B ⋂ C \in Γ;$ ③若 $Γ_{1} \subset Γ,$ 则 $\cup_{A \in Γ_{1}} A \in Γ,$ 即集合 $A$ 满足拓扑空间的定义, 记 $A$ 生成的拓扑空间为(A, Γ )。

存在 $ρ_{1} \in Χ_{1}$ 及线性子空间 $E'_{0} \subset Χ_{1},$ 使得

$E_{1} = E_{0} - x_{0} ≜ \{x - x_{0} |x \in E'_{0}\}$ (23)

式(23)所示 $E_{1}$ 为 $Χ_{1}$ 上的一个线性流形。

$E_{1}$ 中:对 $\forall x_{1}, y_{1} \in Χ_{1}, \exists δ > 0$ 时, 使得

$ρ_{E} (x_{E}, y_{E}) = ρ_{1} (x_{1}, y_{1}) - δ$ (24)

故而, 线性流形 $E_{1}$ 满足上述拓扑空间的定义。

设 $A \subset E_{1},$ 如果 $A$ 是点 $x \in E_{1}$ 的一个邻域, 即存在 $E_{1}$ 中的一个开集 $V$ 使得 $x \in V \subset A$ , 则称点 $x$ 是集合 $A$ 的一个内点; 集合 $A$ 的所有内点构成的集合称为 $A$ 的内部, 记为 ${\overset{°}{E}}_{1}, 则有 {\bar{E}}_{1} = E_{1} + {\overset{°}{E}}_{1}, {\bar{E}}_{1}$ 满足拓扑空间定义, 记为 $Ψ 。$

结合以上证明, 有界且列紧的拓扑空间内, 必有: $\exists δ > 0,$ 对 $\forall r > r_{p},$ 使得 $Ψ ⋂ Χ_{0} = ⌀,$ 并且 $\exists δ_{0},$ 使得对 $\forall δ,$ 有 $δ \geq δ_{0} 。$ 其中 $r_{p}$ 为系统从混沌状态进入大尺度周期状态的临界阈值。

取 $δ = δ_{0},$ 得到此时的点集拓扑空间 $Ψ,$ 当 $r \leq r_{p}$ 时, $Ψ ⋂ Χ \neq ⌀,$ 系统处于混沌状态; 当 $r > r_{p}$ 时, $Ψ ⋂ Χ = ⌀,$ 系统处于大尺度周期状态, 从而达到判断的目的。

由以上分析可知, 同参数下相同系统输出相空间的拓扑空间边界范围相同, 故而对于一个检测系统, 仅确定一次判定区域即可。

4.3 复杂度与判别性能分析

由图7可知, 最终确定的判别区域为四条直线构成的菱形, 表述为:

$\frac{x}{a_{i}} + \frac{y}{b_{i}} = 1, i = 1, 2, 3, 4$ (25)

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	图7 判定区域示意图Fig.7 Sketch map of judegment area

判别时, 将相空间点代入式(16)左侧, 比较与1的大小关系。此处涉及到2× 4次除法运算记为C, 1× 4次加法运算记为J, 1× 4次大小比较记为B。实际判别过程中, 首先确定大尺度周期状态下输出信号的周期记为T, 从第一个数对开始, 每隔一个周期取下一个数对进行判断, 如上所述, 若第 $M / 2$ 个点仍处于区域外, 则判定为大尺度周期状态, 否则为混沌状态, 由此可知, 运算复杂度F可表述为:

$F \leq \frac{M}{2} (8 C + 4 J + 4 B)$ (26)

除法、加法和大小比较在Matlab等软件中均容易实现且运算时间很短, 本判别方法具有较小的复杂度。

为了分析判别方法的性能, 在不同精度的临界r值下, 分别进行100次蒙特卡罗实验, 统计出可以正确判断运动状态的次数, 如表1所示。

表1 判别性能 Table 1 Performance of judgment

由表 1可知, 临界r值达到小数点后六位以后图形方法存在误判。经仿真分析表明, 当r取值较为精确时, 由于硬件精度有限, 系统本应处于混沌临界状态, 所得相空间图形却表现为大尺度周期状态, 从而出现了小概率误差。临界值r的小数点后达到八位或更多时, 由于方程解法精度限制和硬件条件限制, 混沌检测系统对单频信号不再敏感, 无法完成检测。

5 Duffing振子信号检测模型

基于以上对利用Duffing振子进行信号检测时存在的问题分析, 解决了噪声影响、相位影响和运动状态判断3个关键问题, 建立Duffing振子信号检测模型, 如图8所示。

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	图8 Duffing振子信号检测模型Fig.8 Duffing oscillator signal detection model

将本文提出的逆向字典方法噪声强度值步长定为1, 采用宽带噪声进行仿真, 带宽为1~10 kHz, 对于2 kHz的单频信号, 利用变尺度方法将目标信号频率变化到1 Hz, 相应的宽带噪声频率变化为0.5~5 Hz。根据以下信噪比计算公式:

$SNR = 10 \log \frac{P_{signal}}{P_{noise}} = 10 \log \frac{2 A^{2}}{δ^{2}}$ (27)

式中:A为输入信号幅值; $δ$ 为噪声标准差。可得到利用以上Duffing振子检测系统进行信号检测时的最低检测信噪比为-36.99 dB。

本文提出的逆向联合检测系统最低检测信噪比(-36.99 dB)远低于文献[9]中所述方法的最低检测信噪比(-13.01 dB)。

6 结束语

本文针对Duffing振子检测系统中临界状态下一定强度的噪声对系统产生扰动、待测信号与系统策动力的相位需同步、Duffing振子运动状态判断3个关键问题, 提出了一种逆向联合Duffing振子信号检测模型。提出了一种基于临界阈值字典的逆向相变方法, 基于临界阈值的单调性, 建立临界阈值字典, 解决了低信噪比下噪声对系统产生扰动的问题; 提出了一种双系统联合检测方法, 利用两个策动力相位互异的Duffing振子检测系统联合检测, 解决了待测信号相位和策动力相位的同步问题, 并计算出了由于相位的不遍历性导致的虚惊概率; 提出了一种基于输出相空间形态的Duffing振子检测系统运动状态表征方法, 并进行了可行性的数学证明, 实现了检测结果的低运算量、高精度嵌入式表征。最终建立了较完整的Duffing振子检测模型, 得出最低检测信噪比为-36.99 dB。

The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献

文献列表

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... 传统基于统计理论的信号检测方法主要靠抑制噪声,会对原始信号产生损害,同时也无法满足检测的低信噪比要求^[1,2,3] ...

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A comparative study on two methods of weak signal detection

两种微弱正弦信号检测方法比较研究

Zhou Kai-bo , Dou Cheng-quan , Chen Tao

周凯波, 豆成权, 陈涛

摘　要：介绍了低信噪比正弦电压幅值测量用的多重自相关算法和数字相敏解调（DPSD）算法，概述了2种算法的理论依据，给出了2种方法在实际微弱信号检测中的测量结果。通过对实际测量结果的对比分析，确定了这2种方法各自所适用的范围及缺陷。

... 传统基于统计理论的信号检测方法主要靠抑制噪声,会对原始信号产生损害,同时也无法满足检测的低信噪比要求^[1,2,3] ...

2009

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混沌系统与弱信号检测

聂春燕

... 传统基于统计理论的信号检测方法主要靠抑制噪声,会对原始信号产生损害,同时也无法满足检测的低信噪比要求^[1,2,3] ...

1992

0.0

... 20世纪90年代初,Birx等^[4]首先将混沌振子应用到信号检测,这种基于混沌振子的检测方法可以检测更低信噪比下的微弱信号,且不会对有用信号产生影响 ...

2000

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... Duffing振子系统是产生混沌现象的一类常用非线性系统,具有对噪声的免疫性和对微弱信号的敏感性,可实现低信噪比下的微弱信号检测^[5,6,7] ...

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A new weak sinusoidal signal detection method based on Duffing oscillators

基于Duffing振子的弱正弦信号检测方法研究

Liu Hai-bo , Wu De-wei , Dai Chuan-jin

刘海波, 吴德伟, 戴传金

It is found in numerical simulations that Duffing oscillator state transition from big-cycle motion to chaotic motion has more robust sensitivity to the amplitude of the forced periodic term than the transition from chaotic motion to big-cycle motion,as long as the reference signal initial phase and the Duffing oscillator initial value are matched.On this basis,a new weak sinusoidal signal detection scheme is advanced,whose feasibility is then analyzed.The advanced scheme shows higher detection capability by comparing with traditional methods.Besides,considering the characteristics of the Duffing oscillator phase space,a new Duffing oscillator motion state judging method is proposed,which features good real-time performance and low computational complexity,and is verified with simulations.

数值仿真发现,通过设置Duffing振子初值和参考信号初相使其满足一定关系,Duffing振子从大周期态向混沌态的转变(正向相变),比较其从混沌态向大周期态的转变(逆向相变),对周期策动力的幅值体现出了更稳健的敏感性.据此,提出了一种利用Duffing振子逆向相变实现弱正弦信号检测的方法,分析了其可行性,并通过仿真与传统的检测方法进行了对比.数据表明,相同条件下,所提检测方法具有更高的检测精度.此外,根据相空间分布特点,提出了一种相轨迹运动状态的判别方法.该判别方法计算量小,并具有较好的实时性,通过仿真验证了该方法的正确性.

... Duffing振子系统是产生混沌现象的一类常用非线性系统,具有对噪声的免疫性和对微弱信号的敏感性,可实现低信噪比下的微弱信号检测^[5,6,7] ...

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Determination of the parameters of unknown signals based on intermittent chaos

利用阵发混沌现象测定未知信号参数

Zhai Du-qing , Liu Chong-xin , Liu Yao

翟笃庆, 刘崇新, 刘尧

... Duffing振子系统是产生混沌现象的一类常用非线性系统,具有对噪声的免疫性和对微弱信号的敏感性,可实现低信噪比下的微弱信号检测^[5,6,7] ...

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Improvement of unknown weak-signal detection method based on Duffing chaotic oscillator

混沌振子微弱未知信号检测方法的改进

Ji Chang-peng , Guo Wei-ping , Ji Hong-hong

冀常鹏, 郭伟平, 姬红红

目前普遍应用Duffing混沌振子系统检测噪声背景下微弱信号,由于其具有对周期信号敏感而对干扰信号免疫的特点,所以在检测时常常忽略噪声的影响。然而大量实验发现,系统对某些方差的噪声免疫力很低,容易造成误判。由此,在分析噪声对微弱信号检测影响的基础上,采用互相关检测器对待测信号进行处理,以此抑制噪声。对工程上不易实现的混沌阵列检测法引入实用性强的循环算法,操作简单,仿真结果精度高。

... 在稳定内策动力下,取 ω为常数,固定 k时,随着 γ2从0逐渐增加,系统输出相空间将依次出现:同宿轨道周期状态、分叉状态、混沌状态和大尺度周期状态4种不同的动力学状态^[8] ...

2012

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Weak characteristic signal detection based on scale transformation of Duffing oscillator

基于Duffing振子的变尺度微弱特征信号检测方法研究

Lai Zhi-hui , Leng Yong-gang , Sun Jian-qiao

赖志慧, 冷永刚, 孙建桥

... 将待测信号作为特定参数输入临界状态下的检测系统,利用系统所拥有的丰富的非线性动力学特点,辨识其运动状态,根据运动状态的变化,最终达到微弱信号检测的目的^[9],运动状态变化说明有信号存在,无变化说明只有噪声存在^[10] ...

... 实际中,背景噪声并非全频带的,故而本文采用宽带噪声进行仿真,带宽为1~10 kHz,目标信号频率为2 kHz,利用文献[9]中的变尺度方法可实现目标信号频率变化为1 Hz,相应的宽带噪声频率也变化为0 ...

... 对于式(1)所示的检测系统,若采用文献[9]中的方法,设定临界阈值为0 ...

... 文献[9]中采用不同输入、不同内策动力相位的4个检测系统实现了对任意相位输入信号的检测 ...

... ],文献[9]中变尺度方法可实现策动力频率与目标信号频率的统一,故而此处令 ω1=ω=1,由于仅相位差会对结果产生影响,固定 ϕ=0,则对方程右边进行化简可得: ...

... 99 dB)远低于文献[9]中所述方法的最低检测信噪比(-13 ...

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The detection of weak periodic impulse using the special chaotic system

用特定的混沌系统检测弱周期脉冲信号

Li Yue , Yang Bao-jun , Shi Yao-wu

李月, 杨宝俊, 石要武

用修正的Duffing -Homes方程{+k-x3+[1+αδT(t)]x5＝γsin(ωt)}构成特定的混沌系统,实现了强噪声背景下周期脉冲信号的有效检测,仿真实验表明该混沌系统对微弱周期脉冲信号非常敏感,对任何零均值噪声均具有极强的抑制能力.系统信噪比工作门限可达到-83dB.

2013

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Study on weak signal detection method with Duffing oscillators

Duffing振子微弱信号检测方法研究

Liu Hai-bo , Wu De-wei , Jin Wei

刘海波, 吴德伟, 金伟

By numerical simulations we find that the Duffing state transition from big-cycle motion to chaotic motion is more suited to weak signal detection. Based on this, in this paper, we propose a new weak periodic signal detection method from the angle of theoretical analysis. The principle of the proposed method is introduced and its feasibility is analyzed. Then, the proposed method and the traditional method are compared and analyzed both in transition zone effect and detection probability, and then a contrast simulation is carried out. The analysis and simulation results both indicate, the Duffing oscillator state transition from big-cycle motion to chaotic motion is affected less by transition zone under the same condition, based on which the proposed detection method possesses better detection capability. The simulation data also show that weak signal detection with Duffing oscillator must be based on unilateral state transition. The frequency difference detection based on intermittent chaos is suited only for the case where the signal-to-noise ratio of the detected signal is relatively high.

在前期实验工作的基础上,从理论分析的角度,提出了利用Duffing振子从大周期态向混沌态的相变作为判据的微弱周期信号检测方法,给出了检测原理,并论证了其可行性;从过渡带影响和检测概率两方面将该方法与传统的检测方法进行了比较分析,并对两者的检测性能进行了仿真对比.分析和仿真结果都显示,相同条件下, Duffing振子从大周期态向混沌态的相变受过渡带影响更小,所提方法具有更好的检测性能. 实验数据还表明, Duffing振子检测微弱信号只能基于单向相变, 利用阵发混沌进行频差检测只适用于待测信号信噪比较高的情况.

... 基于以上问题,文献[11]中提出了针对噪声影响的逆向相变方法 ...

... 文献[12]所述方法需在检测过程中反复确认新方程的两个临界阈值,使得检测过程复杂度大大提高,本文基于文献[11]中的逆向相变方法,制定临界阈值字典,使上述噪声问题得到解决 ...

... 从文献[11]中得知:输入信号中的噪声成分达到一定强度后,会使得临界状态的系统随机地发生相变,随着噪声强度的增加,正向、逆向相变对内策动力幅度的分辨能力都有所降低,正向相变临界阈值有所降低,而逆向相变临界阈值有所升高 ...

2008

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A new method of weak signal detection using Duffing oscillator and its simulation research

一种Duffing弱信号检测新方法及仿真研究

Wang Yong-sheng , Jiang Wen-zhi , Zhao Jian-jun

王永生, 姜文志, 赵建军

... 文献[12]中将噪声对系统的扰动归因于过渡带的存在,设计了一种新的方程形式,改善了临界相变过渡带的影响,而两种方法应用于信号检测均要改变临界阈值 ...

2012

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Improved algorithm of auto covariance least-squares noise estimation

自协方差最小二乘噪声估计的改进算法

Luo Zhi-cai , Lin Xu , Zhou Bo-yang

罗志才, 林旭, 周波阳

... 要实现上述字典调用方法,首先要对输入信号进行噪声强度估计^[13,14] ...

2007

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... 要实现上述字典调用方法,首先要对输入信号进行噪声强度估计^[13,14] ...

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Study on detection of weak sinusoidal signal by using Duffing oscillator

基于Duffing振子的微弱正弦信号检测方法研究

Shang Qiu-feng , Yin Cheng-qun , Li Shi-lin

尚秋峰, 尹成群, 李士林

利用混沌振子系统的初值敏感性和对噪声的免疫力检测微弱正弦信号，可以获得很高的检测灵敏度和很好的抗噪性能。文中分析了待测正弦信号幅值和相位对混沌系统状态的影响。基于Duffing振子系统的相变特性，提出了检测微弱正弦信号幅值和相位的新方法，即：反相补偿幅值检测方法和三分对称相位检测方法，介绍了检测的原理和具体实现步骤；利用Duffing方程的位移X波形的包络特性，提出了适合于含噪声情况的混沌特性自动判别方法，以正确判别混沌系统的状态并应用于文中的信号检测方法之中。最后，将该方法和最大似然法进行了比较。数字仿真结果证明了文中所提方法的可行性和有效性。只需改变策动力的频率，该方法即可适用于检测各种频率的微弱正弦信号，对于扩大光传感器的测量范围、电力系统谐波分析等应用具有实用价值。

... 引入文献[15]中的相位补偿思想,本文提出双振子联合检测方法 ...

2004

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. 2004, 32(1):87-90 DOI:doi:10.3321/j.issn:0372-2112.2004.01.021

Chaotic detection method for weak square wave signal submerged in colored noise

湮没在色噪声背景下微弱方波信号的混沌检测方法

Li Yue , Shi Yao-wu , Ma Hai-tao

李月, 石要武, 马海涛

We build a chaotic system which dynamic behavior is very sensitive to weak square wave signal,and then use the change of phase space track of this system to realize detection of the weak square wave signal from any colored noise background.In this paper,we proved the square wave signal's detection method and analyzed the influence for the chaotic detection from noise.The simulation experiments shows that chaotic detection system is very sensitive to square wave signal and have strong restrain ability to any colored noise with zero mean.

... 文献[16]中采用了Melnikov方法,求解比较简单但是判别准确性较低 ...

2005

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Weak signal detection based on Lyapunov exponents

基于Lyapunov指数的弱周期信号检测

Liu Ding , Ren Hai-peng , Li Hu-ming

刘丁, 任海鹏, 李虎明

... 文献[17]中的Lyaponov方法对于含有噪声的Duffing振子输出相空间效果较差 ...

2009

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... 文献[18]中采用了Poincare截面法,具有较好的相空间抗噪性能,但是要经过一阶方程转化,Poincare截面转化等步骤,比较繁琐 ...

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... 设方程(17)的解为 x(t)=X(t)cos(ω1t+φ(t)),由于 cos(ω1t+φ(t))是有界的,故而只需确定 X(t)的有界性,利用谐波平衡法^[19]可得到微分方程组: ...

2003

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... 列紧性:显然,相空间X是2维欧式空间 R2的闭子集,且X是有界的,则由点集拓扑理论中的定理^[20]可知, X具有紧致性,且X为度量空间,故而X是列紧的 ...