从空气质量守恒的角度分析进气管进气的动态过程,可以得出关于进气管压力以及进气管温度的非线性微分方程^{[ 16]}

: = (- T _i+ T _a+ T _EGR) (1)

= [- (κ-1)T _i+ (κT _a-T _i)+ (κT _EGR-T _i)] (2)

式中:P _i为进气管压力;κ为空气的比热容;R为气体常数,本文取R=287×10^-5、V _i为进气管体积;T _i为进气管温度;T _a为环境温度; 为排气再循环(Exhaust gas recirculation,EGR)检测的气体质量流速;T _EGR为EGR温度; 为通过进气阀的空气质量流速,且与进气阀开度和进气管压力息息相关; 为通过进气口的空气质量流速,它可表示为一个速度-密度公式^{[ 16]}: (v,P _i)=m _at1 β₁(v)β₂(P _r)+m _at0(3)

(n,P _i)= (η _i·P _i)n (4)

式中:

β₁(v)=1- cos(v)- /2! (5)

P _r=P _i/P _a(6)

β₂(P_r)=

(7)

式中:m _at0,m _at1,v₀,P _c是定值;η _i为容积率;η _i·p _i为归一化的压缩气体压强,可通过式(8)求得^{[ 16]}:η _i·p _i=s _i(n)P _i+y _i(n) (8)

式中:s _i(n)和y _i(n)为发动机转速的函数,并且y _i(n)≪s _i(n)。

基于曲轴的能量传动,转速的微分方程表示为

^{[ 16]}

(9)

式中:摩擦功率P _f和抽运功率P _p与进气管压力P _i和转速n密切相关;负载功率P _b是转速n的函数;Δτ _d为喷油的延时时间;容积率η _i为进气管压力P _i、转速n和空燃比AFR的函数,I为归一化处理后的发动机转动惯量;n为发动机转速。

喷油的动态过程可分为气化燃料的动态过程和油膜流动动态过程。燃料质量流速和通过进气阀约燃料质量流速之间的关系可按如下公式进行描述

^{[ 16]}:

(10)

(11)

= (- +X _f )(12)式中: 为气化燃料质量流速; 为油膜质量流速;X _f为生成油膜的比例;τ _f为燃油气化率,可表示为

^{[ 16]}τ _f(P _i,n)=1.35×(-0.672n+1.68)×

(P _i-0.825)²+(-0.06×n+0.15)+0.56 (13)

X _f(P _i,n)=-0.277P _i-0.055n+0.68 (14)

在MVEM模型中AFR通过燃料质量流速

(15)

但是,从燃油喷射到燃油燃烧生成废气一般要经过发动机气缸两个冲程的时间。同时,废气到达EGO也需要一定的时间延迟。因此,在模型的最后有一个时间延迟环节,其延迟时间

t _d为^{[ 16]}t _d=0.045+10π/n (16)

Volterra模型作为Taylor模型的一种推广模型一经提出即引起了学者们的广泛关注。一般来讲,二阶Volterra模型即可很准确地描述一个非线性系统^{[ 13, 14, 15]}。标准二阶Volterra MIMO模型的表达形式为

y_i(k)=h_i0+ u_l(k-j)+ u_l(k-j)u_l(k-n) (17)

式中:N_t为截断阶数;q为输入变量个数;i为系统输出个数; 和 分别为输入变量u_l的线性部分参数和非线性部分参数;h_i0为第i个系统输出的直流分量。

发动机系统输出AFR对于两个输入变量:喷油量的质量流速 和进气阀角度θ的响应速度存在着严重差异。通过分别对 和θ阶跃变化输入,得到AFR对系统输入的响应速度。

图2

Fig.2

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	图2 θ阶跃变化时AFR响应曲线Fig.2 Response curve of AFR when θ step change

图3

Fig.3

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	图3 阶跃变化时AFR响应曲线Fig.3 Response curve of AFR when step change

由图2可见, 保持在0.0025 kg/s,θ在100 s处由25°阶跃变化至40°,AFR的过渡过程时间为0.8 s。而在图3中,θ保持在30°, 在100 s处由0.0005 kg/s阶跃变化至0.003 kg/s,AFR的过渡过程时间为8 s。当采样周期 T_s=0.02 s时,由传统Volterra模型可得, N_t=8 s/0.02 s=400,这将使得Volterra模型陷入严重的维数灾难。当 T_s=0.2 s时, T_s=8 s/0.2 s=40。但是,由于θ的过渡过程时间为0.8 s,这就意味着仅有4个数据用来描述θ的过渡过程,导致模型丢失大量动态信息。

如前文所述,由于发动机两个输入变量的系统过渡过程时间存在严重差异,导致标准二阶Volterra模型无法准确地辨识发动机AFR系统。因而本文对标准Volterra模型进行改进,提出一种变采样间隔的Volterra模型:

y(k)=h₀+ a _u(i)u(k-i×t _u/t _v)+

b _u(i,j)u(k-i×t _u/t _v)u(k-j×t _u/t _v)+

a _v(i)v(k-i)+

b _v(i,j)v(k-i)u(k-j) (18)

式中:t _u为 的系统过渡过程时间;t _v为θ的系统过渡过程时间。

首先,选择采样周期 T_s=0.02 s,使得有足够多的采样样本对系统进行细致描述。此外,为了避免Volterra模型陷入维数灾难,对于较长过渡过程时间的 ,采用不同的采样间隔,即每t _u/t _v个数据选择一个数据对系统进行描述。

在式(18)中,t _u/t _v=10,即当k=1时,第1,11,21,…个数据被使用、当k=2时,第2,12,22,…个数据被使用。由此可见,改进后的Volterra模型在保证了所有动态数据信息都被使用的情况下,大大缩短了模型截止阶数,避免了维数灾难带来的困扰。

为了充分激励发动机系统的全部非线性动态特性,本文采用具有白噪声特性的随机幅值序列(Random amplitude sequences,RAS)作为发动机的激励信号。选取20 000个从20°到60°的RAS信号作为发动机输入序列θ,同时选取20 000个从0.0005 kg/s到0.003 kg/s的RAS信号作为发动机输入序列 ,将两个序列以 T_s=0.02 s输入给MEVM模型,得到系统输出AFR序列。由输入输出序列组成对Modified Volterra模型的训练样本。

取Modified Volterra模型阶次为二阶,采用带有遗忘因子的递推最小二乘(Recursive least squares,RLS)对Modified Volterra模型参数h₀,a _u,b _u,a _v,b _v进行训练。RLS既可以保证模型参数的辨识精度,同时也使得模型可以在线辨识修正,实现模型的自适应性。其递推表达式为^{[ 17]}L(k)=

(19)

( k) = ( k-1) +

L( k)[ y( k) - φ^T( k) ( k-1)] (20)

P( k) =

(21)

式中: ( k) = 为待辨识的参数向量; φ( k)为式(18)中 k时刻的输入变量向量( u, v); P( k)和 L( k)为中间变量; λ为遗忘因子,一般取0 <λ<1。

当对 λ, ( k), P( k)设置好初始值以后,每当有新的训练样本向量 φ( k)时, RLS算法可自动修正参数向量 ( k)。

基于Modified Volterra模型SI发动机AFR非线性模型预测控制系统结构如图6所示:

图6

Fig.6

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	图6 SI发动机AFR非线性模型预测控制系统结构图Fig.6 SI engine AFR nonlinear model predictive control system structure

本文所提SI发动机AFR非线性模型预测控制的基本思想是:首先利用前文所得到的SI发动机的Modified Volterra辨识模型对真实系统输出进行N _y步预测,并将预测输出序列 (t+1),…, (t+N _y)反馈给控制器。控制器根据预测输出序列以及优化约束条件,滚动优化出新的未来最优控制序列,然后将最优控制序列的第一个控制值发送给真实发动机。

依此类推进入下一个控制循环周期。同时,在每一个控制周期中,利用真实系统的实际输入输出数据对Modified Volterra模型进行在线自适应矫正,并将模型误差反馈给设置点,实现自适应闭环反馈控制。

模型预测是模型预测控制的基础和前提。以上文所得到的SI发动机辨识模型为基础,利用历史输入数据,将辨识模型中的线性部分和非线性部分分开,即可以很方便地构造SI发动机AFR预测模型。

将式(18)改写成^{[ 18]}:

y = G_u u + f_u + c (22)

式中: y = ∈ , N_y为预测步数。

u =

(23)

式中: a_u( i)为前文 Modified Volterra辨识模型中的对应系数。

式(22)中, f_u∈ 为与未来时刻 序列相关的模型非线性部分,可通过下式计算得到: f_u( k+1) =[ u( k) 0 … 0]· B_u·

[ u( k) u( k-1) … u( k-N_t +1)]^T;

f_u( k+2) =[ u( k+1) u( k) 0 … 0]· B_u·

[ u( k+1) u( k) u( k-1) … u( k-N_t +2)]^T;

f_u( k+3) =[ u( k+2) u( k+1) u( k) 0 … 0]· B_u·

[ u( k+2) u( k+1) u( k) u( k-1) …

u( k-N_t +3)]^T

f_u( k+4) =… (24)

其中: B_u∈

(25)

式中: b_u( i, j)为前文 Modified Volterra辨识模型中的对应系数。

式(22)中, c∈ 为与未来时刻 序列不相关且可视为数值固定不变的部分,可表述为

c = c_u + c_v + h₀+ d (26)

式中: c_u∈ 为与过去时刻 序列相关部分,可表示为

c_u = H_u u_p + g_u(27)

式中: H_u u_p为与过去时刻 序列相关的线性部分; u_p∈ 为过去时刻 序列; H_u∈ 为系数矩阵,可表示如下:当 N_y =N_t时, H_u =

(28)

当 N _{y t}时, H_u =

(29)

式(27)中, g_u∈

(30)

为与过去时刻 序列相关的模型非线性部分,可通过下式计算得到:

式中: B_u∈ 为系数矩阵,已在前文定义。

式(26)中, c_v∈ 为与 θ序列相关部分,由于未来时刻 θ的变化是未知的,因而对未来时刻 θ的数值不妨由当前时刻数值代替,可表示为

c_v = H_v v_p + g_v + G_v v + f_v(31)

其中 H_v v_p为与过去时刻 θ序列相关的线性部分, v_p∈ 为过去时刻 θ序列, H_v∈ 为系数矩阵,可表示为

当 N_y =N_t时, H_v =

(32)

当 N_{y t}时: H_v =

(33)

式(31)中, g_v∈ 为与过去时刻 θ序列相关的模型非线性部分,可通过下式计算得到:

g_v( k+1) =[0 v( k-1 v( k-2 …

v( k-N_t ×t_u /t_v ]· B_v·

[0 v( k-1 v( k-2 …

v( k-N_t ×t_u /t_v ]^T

g_v( k+2) =[0 0 v( k-1 v( k-2 …

v( k-N_t ×t_u /t_v ]· B_v·

[0 0 v( k-1 v( k-2 …

v( k-N_t ×t_u /t_v ]^T

g_v( k+3) =[0 0 v( k-1 v( k-2 …

v( k-N_t ×t_u /t_v ]· B_v·

[0 0 v( k-1 v( k-2 …

v( k-N_t ×t_u /t_v ]^T

g_v( k+4) =… (34)

式中: v 表示向量中在该位置存在 t_v /t_u个相同元素 v(•); B_v∈ 为系数矩阵,可表示为 B_v =

(35)

式中: b_v( i, j)为前文所述 Modified Volterra模型的对应系数。

式(31)中, G_v v为与未来时刻 θ序列相关的模型线性部分, G_v∈

(36)

为系数矩阵,可表示为 G_v =

式(31)中, f_v∈ 为与未来时刻 θ序列相关的模型非线性部分,可通过下式计算得到:

f_v( k+1) =

[ ]· B_v·[ v( k v( k

… v( k-N_t ×t_u /t_v ]^T;

f_v( k+2) =[ ]· B_v·

[ v( k+1) v( k v( k-1 …

v( k-N_t ×t_u /t_v ]^T;

f_v( k+3) =

[ v( k+1) ]· B_v·

[ v( k+1) v( k+1) v( k v( k-1

v( k-N _t ×t_u /t_v ]^T;

f_v( k+4) =… (37)

式(26)中 h₀∈ 为 Modified Volterra模型中的直流分量部分, d∈ 为模型误差补偿项。