汽车发动机空燃比(Air fuel ratio,AFR)的控制精度已经成为目前的研究热点^{[ 1, 2]}。该问题的关键问题是如何解决火花塞点火(Spark ignition,SI)发动机高度非线性的问题。Map图加PI反馈补偿的发动机AFR控制方法由于具有结构简单、鲁棒性强、稳态无差等一系列优点,在SI发动机的AFR控制上得到了广泛应用,但该方法存在发动机动态特性变化的问题^{[ 1, 2, 3]}。近年来,非线性模型预测控制(Nonlinear model predict control,NMPC)理论在发动机AFR控制领域的应用受到了广泛的关注^{[ 4, 5, 6, 7]}。其中,Manzie等提出了一种基于自适应RBF神经网络(Radial basis function neural network,RBFNN)模型的发动机AFR的NMPC方法。在该方法中,自适应RBFNN模型被用来对发动机AFR系统输出进行预测,并利用一种带有效集的线性预测控制方法实现了发动机AFR控制^{[ 2]}。在此基础上,Wang等基于RBFNN模型利用Reduced Hessian方法对控制序列进行寻优,并取得了较好的发动机AFR控制效果^{[ 6]}。随后,Wang等利用MLP神经网络对发动机AFR系统进行了辨识,并提出了一种基于MLP模型的发动机AFR控制的NMPC方法^{[ 7]}。然而,由于RBFNN模型一般采用迭代搜索的方法进行控制寻优。反复的迭代计算使得该方法的计算量较大。如果在最优值附近过早地终止迭代搜索,可以减少计算量,但又导致精度下降^{[ 8]}。

基于Volterra模型的NMPC控制方法可以根据Volterra模型的结构,利用最小二乘的方法直接计算NMPC的最优控制序列,从而避免了采用迭代搜索算法所带来的计算量较大的问题^{[ 8]}。根据这一理论,Maner等提出了一种基于二阶Volterra模型的NMPC方法,并将该方法应用于聚合反应釜控制中,取得了良好的控制效果^{[ 9]}。Gruber等针对温室控制问题,对传统Volterra模型进行了改进,并提出了相应的NMPC控制算法^{[ 10]}。Boland等将Volterra模型应用于发动机爆震检测中,取得了较高的辨识精度^{[ 11]}。然而,基于Volterra模型的NMPC方法在模型阶次和模型预测精度方面却存在着矛盾:即较高的模型阶次将使得Volterra模型陷入“维数灾难”,计算量陡增,而较低的模型阶次却由于Volterra模型高次项的缺失,导致模型预测精度下降。

针对上述问题,本文首先提出了一种变采样间隔的Modified Volterra模型以减少Volterra模型建模的计算量。其次,将RBFNN模型和Modified Volterra模型有机地结合在一起,兼取二者之长,利用RBF神经网络模型对系统的输出序列进行预测,然后基于Modified Volterra模型设计了一种具有全局最优解且闭环稳定的SI发动机AFR的NMPC控制算法。利用平均值发动机模型(Mean value engine model,MVEM)^{[ 12]},在Dspace实时试验平台上,对本文方法进行了仿真试验。结果表明:本文所提方法对SI发动机AFR控制效果明显优于单独基于Modified Volterra模型或RBF神经网络模型的NMPC控制方法。

如图1所示,MVEM模型被分成3个子模型以描述发动机进气管的压力、温度、转速以及喷油量的动态过程。该模型的两个系统输入分别为进气阀角度θ和喷油质量流速 ,以及一个系统输出AFR。

图1

Fig.1

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	图1 MVEM仿真模型Fig.1 MVEM Simulink model

1.1 进气管进气动态过程

进气管进气动态过程表示如下^{[ 1]}:

= (- T _i+ T _a+ T _EGR)     (1)

= [- (κ-1)T _i+ (κT _a-T _i)+ (κT _EGR-T _i)]    (2)

式中:P _i为进气管压力;κ为空气的比热容;R为气体常数,这里取2.87×10^-7;V _i为进气管体积;T _i为进气管温度;T _a为环境温度; 为检测的气体质量流速;T _EGR为排气再循环(Exhaust gas recirculation,EGR)温度; 为通过进气阀的空气质量流速,且与进气阀开度和进气管压力息息相关; 为通过进气口的空气质量流速,它可表示为一个速度-密度公式^{[ 1]}:

(v,P _i)=m _at1 β₁(v)β₂(P _r)+m _at0    (3)

(n,P _i)= (η _i·P _i)n     (4)

式中:m _at0,m _at1,θ₀,P _c为一个定值;η _i为容积率;

β1(θ)=1- cosθ-

(5)

P _r=P _i/P _a (6)

β2(P r)=

(7)

(η _i·p _i)为归一化的压缩气体压强,可通过式(8)计算得到^{[ 1]}:

η _i·p _i=s _i(n)P _i+y _i(n) (8)

式中:s _i(n)和y _i(n)为发动机转速的函数,并且y _i< _i。

1.2 转速动态过程

基于曲轴的能量传动,转速的微分方程为^{[ 1, 2]}:

(9)

式中:I为归一化处理后的发动机转动惯量;摩擦功率P _f、抽运功率P _p与进气管压力P _i和转速n密切相关,负载功率P _b是转速n的函数;Δτ _d为喷油的延时时间;容积率η _i为进气管压力P _i、转速n以及空燃比AFR的函数。

1.3 喷油的动态过程

喷油的动态过程可分为气化燃料的动态过程和油膜流动动态过程。燃料质量流速和通过进气阀的燃料质量流速之间的关系为^{[ 1, 2]}:

= (- +X _f ) (10)

=(1-X f)

(11)

= +

(12)

式中: 为气化燃料质量流速; 为油膜质量流速;X _f为生成油膜的比例;τ _f为燃油气化率,可表示为^{[ 1, 2]}:

τ _f(P _i,n)=1.35×(-0.672n+1.68)×(P _i-0.825)²+(-0.06×n+0.15)+0.56 (13)

X _f(P _i,n)=-0.277P _i-0.055n+0.68 (14)

1.4 空燃比测量

在MVEM模型中AFR通过燃料质量流速 和空气质量流速 计算得到^{[ 1, 2]}:

AFR=/

(15)

然而,从燃油喷射到燃油燃烧生成废气一般要经过发动机气缸两个冲程的时间。同时,废气到达EGO也需要一定的时间延迟。因此,在模型的最后有一个时间延迟环节,其延迟时间t _d为^{[ 1, 2]}:

t _d=0.045+10π/n (16)

本文采用Volterra模型的目的在于改善SI发动机AFR控制算法的性能。Volterra模型实际上是一个系统的输入输出脉冲响应模型。它只与系统输入及被控输出有关,而影响系统输出的各个中间变量已全部包含在模型的内部参数中。许多文献表明,二阶Volterra模型就可以以较高的精度辨识相当一类的非线性系统^{[ 10, 11, 12]}。为了减少Voletrra模型的复杂程度,本文采用输入为油门开度和喷油量,输出为AFR的二阶Volterra模型。其k时刻的Volterra模型的表达式为^{[ 10]}:

y( k) = h₀ + a _{l, j} u _l( k-i) + u _l( k-i) u _l( k-j) (19)

式中: u( k)为输入变量; y( k)为输出变量; h₀为直流分量; N_t为截止阶次; a _{l, j}和 b _{l, j, l, n}分别为模型的线性和非线性部分的参数。

值得注意的是 SI发动机的喷油量的过渡过程时间与油门开度的过渡过程时间存在着显著的差异。经试验测定,当喷油量输入保持在0 .0015 kg/s,油门开度为从20 °到60 °的阶跃输入, AFR的过渡过程时间为0 .8 s。当油门开度保持在40 °,喷油量为从0 .0005 kg/s到0 .003 kg/s的阶跃输入, AFR的过渡过程时间为8 s。因此,当采样周期T _s =0 .02 s时, Volterra模型的截止阶次应选为N _t =8 /0 .02 =400。这将导致 Volterra模型的计算量剧增。因此,本文对各个输入变量采用变间隔采样的方法,对传统 Volterra模型进行改进,提出 Modified Volterra模型。其表达式为:

y( k) = h₀ + a_u( i) u( k-i×T_u -1) + b_u( i, j) u( k-i×T_u -1)· u( k-j×T_u -1) + a_v( i) v( k-i) + b_v( i, j) v( k-i) v( k-j) (20)

式中: a_u为与喷油量输入相关的模型线性部分参数; b_u为与喷油量输入相关的模型非线性部分参数; a_v为与油门开度相关的模型线性部分参数; b_v为与油门开度相关的模型非线性部分参数; u( k)为喷油量; v( k)为油门开度; t_u为由喷油量变化导致的 AFR过渡过程时间; t_v为由油门变化导致的 AFR过渡过程时间,取 T_u = t_u /t_v =10,相应地 N_t =400 /T_u =40。

在第 k个采样时刻,对于喷油量 u的数据为 u( k-1), u( k-11),…, u[ k-( N_t -1) ×T_u -1];在第 k+1个采样时刻, u的数据为 u( k), u( k-10),…, u[ k-( N_t -1) ×T_u],以此类推,所有 u的数据都将被利用。这说明,本文所提出的基于变间隔采样的 Modified Volterra模型在有效降低模型截止阶次和计算量的同时,没有丢失任何系统动态特性信息。

本文所采用的 SI发动机 AFR非线性模型预测控制系统结构图如图3所示。

图3

Fig.3

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	图3 基于RBFNN模型与Modified Volterra模型联合NMPC控制结构Fig.3 Control strategy of NMPC based on RBFNN model combined with Modified Volterra model

图3中,S _p为设定值(本文设S _p=14.7);e _f为系统输出误差; y( t)为系统真实输出; ( t)为 Modified Volterra模型的预测输出序列; ( t)为 RBFNN模型的预测输出序列; 为 RBFNN模型的进气歧管压力预测序列; 为进气歧管温度预测序列; 为发动机转速预测输出序列。

在每个控制周期中, RBFNN模型为非线性控制器提供 AFR的预测输出值 ( k+1)∈ ,其中, N_y为预测步数;而 Modified Volterra模型则为非线性控制器提供参数矩阵 G_u∈ , N_u为控制步数。( G_u为 Modified Volterra模型中对应未来时刻喷油量输入的线性部分的参数矩阵)。非线性控制器利用矩阵 G_u和 ( k+1)计算出最优控制序列,并将其第一个控制值作为真实喷油量输入给发动机。并利用 SI发动机真实 AFR输出进行反馈,实现闭环控制,以消除 AFR控制误差并保证控制系统的稳定性。同时,由在每一个采样点上所获得的 SI发动机的 AFR输出以及油门和喷油量的真实值,对 Modified Volterra模型和 RBFNN模型的参数进行自适应升级。

对于未来 N_y步的模型预测输出, RBFNN模型和 Modified Volterra模型可写为^{[ 10]}:

( k+1) =[ ( k+1) ( k+2)… ( k+N_y)]^T(21)

( k+1) = G_u u( k) + f_u( k+1) + c( k+1) (22)

式中:

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

G_u∈ 为 Modified Volterra模型中未来时刻对应于喷油量输入序列 U( k)∈ 的线性部分参数矩阵。 f_u( k+1)∈ 为 Modified Volterra模型中未来时刻对应于喷油量输入序列 u( k)的非线性部分。 c( k+1)∈ 包括过去时刻喷油量序列 u_past∈ 的线性和非线性部分、过去时刻和未来时刻的油门变量 v( k)∈ , v_past∈ 的线性和非线性部分以及模型的直流分量 h₀∈ 。由于未来时刻油门变化为不可预知的,因而在每个控制周期中,设未来时刻油门开度 v( k)的值均为当前时刻的油门输入。因为过去时刻的喷油量输入序列 u_past和油门输入序列 v_past已知,所以式(22)中的 c( k+1)在每一个控制周期内与未来喷油量输入序列 u( k)变化无关。

SI发动机真实 AFR输出序列 y( k+1)可写为:

y( k+1) = ( k+1) + e₁( k+1) = G_u u( k) + f_u( k+1) + c( k+1) + e₁( k+1) (28)

y( k+1) = ( k+1) + e₂( k+1) (29)

式中: e₁( k+1)∈ 、 e₂( k+1)∈ 分别为 Volterra模型和 RBFNN模型的预测误差,由前文所述 e₂( k) << e₁( k)。

由式(28)可见, SI发动机的真实 AFR输出 y( k+1)由两部分组成:一部分是与 NMPC控制量 u( k)有关的线性部分 G_u u( k),而其剩余的另一部分可写为:

d( k+1) = f_u( k+1) + c( k+1) + e₁( k+1) (30)

则 d( k+1)∈ 包含了系统的非线性部分和 Modified Volterra模型的预测误差。

由式(29)和式(30),可得:

d( k+1) = ( k+1) - G_u u( k) + e₂( k+1) (31)

式中: e₂( k+1)∈ 为 RBFNN模型的预测误差。

由于 e₂( k) = y( k) - y₂( k)为可测得的 k时刻 RBFNN模型预测误差,因而可利用 e₂( k)对序列 e₂( k+1)在一定程度上进行补偿:

e₂( k+1) = e₂( k) U =[ y( k) - ( k)] U(32)

式中: U∈ 为单位列向量。

令 NMPC的目标函数为:

(33)

由式(29)和式(31)可得:

y( k+1) = G_u u( k) + d( k+1) (34)

则目标函数式(33)可写为:

(35)

令 =0,可得:

u ^*( k) =( G_u) ^-1{ [ S_p - d( k+1)]}(36)

因为 为正定矩阵,所以目标函数 J为凸函数,因而 u ^*( k)是唯一的全局最小值。由参考文献^{[ 13]}可知,基于该控制算法的闭环控制系统是渐进稳定的。

NMPC的控制效果主要依赖于模型预测的精度和优化算法的性能。在式(35)所示的目标函数中,由 G_u u( k) + d( k+1) = ( k+1) + e₂( k+1)可见,其模型误差仅为 RBFNN模型误差,由于 e₂( k) << e₁( k),所以本文所提的基于 Modified Volterra模型和 RBFNN模型的联合非线性模型预测控制算法的优点在于:既能使得模型预测误差很小,又保证了最优控制序列 u ^*( k)为全局唯一最小值解。此外,由式(36)可以看出,由于采用 RBFNN模型的预测输出序列 ( k+1)取代了 Volterra模型中复杂的高阶非线性部分的计算,从而大大减少了最优控制序列 u ^*( k)的计算量。

在 k时刻,喷油量的最优控制序列 u ^*( k)的计算方法如下:

(1)设 i=1。

(2)将 k-1时刻所计算的最优控制序列 u ^*( k-1)设为初始序列。

(3)利用 RBFNN模型和 Modified Volterra模型所提供的参数矩阵 G_u计算 d ⁱ( k+1):

d ⁱ( k+1) =- G_u u ⁱ( k) + ( k+1) (37)

4)计算 u ^*( k):

(38)

(5)设δ为可接受的偏差,若 u ^*( k)满足‖ u ⁱ( k) - u ^i-1( k+1)‖≤ δ,则跳出优化算法,并将最优控制序列 u ^*( k)的第一个控制变量作为真实喷油量输出给 SI发动机;如不满足,则跳出条件,转至(2),令 i=i+1,并利用当前计算控制序列 u ⁱ( k)和式(37)重新计算 d ⁱ( k+1)。

利用 dSPACE组件建立了 SI发动机 AFR NMPC控制实时仿真平台。利用 dSPACE提供的 RTI软件将 MEVM Simulink模型下载至 DS1005 PPC主板中以模拟被控对象,将 NMPC算法下载至 dSPACE MicroAutoBox( DS1401)以模拟真实汽车中的 ECU控制器。 DS1005 PPC主板与 dSPACE MicroAutoBox之间利用 RS232进行通讯。在观测电脑中,利用 ControlDesk软件对试验结果进行显示和记录。

为了对各种算法进行测试,油门输入 θ如图4所示。图4中,油门在t =5 s处,经过0 .5 s从25 °变化至50 °;在t =10 s处经过0 .5 s由50 °变化至25 °;在t =15 s处由25 °阶跃变化至50 °;在t =20 s处由50 °阶跃变化至25 °。

图4

Fig.4

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	图4 发动机油门变化曲线Fig.4 Throttle angle change curve

试验1 在本文所提算法中,取预测步数N _y为20,控制步数N _u为10。其控制输出曲线如图5所示。

图5

Fig.5

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	图5 本文算法AFR控制效果,MAE=0.0199Fig.5 Simulation result of the algorithm proposed in this paper,MAE=0.0199

在 t=5 s和 t=10 s处,当油门开度缓慢变化时,AFR控制曲线产生了小幅度的波动,但是始终保持在14.7±1%的范围内。在 t=15 s处,当油门开度突然增加时,AFR控制曲线超调至16.75,在0.14 s后调节至14.7±1%范围内,并在0.5 s后稳定在设定值14.7。在 t=20 s处,当油门突然减小时,AFR控制曲线向下超调至12.83,在0.04 s后调节至14.7±1%范围内,并在0.5 s后稳定在设定值14.7。

试验2 为了验证本文算法的性能,采用单独基于Modified Volterra模型的SI发动机AFR NMPC控制算法与本文算法进行对比。前一种算法仅是将本文算法中的RBFNN模型中的AFR预测输出序列替换为Modified Volterra模型预测序列,其余不变。由式(23)和式(29),单独基于Modified Volterra模型的NMPC控制算法的最优控制序列为:

(39)

式中:N_y、 N_u与试验1取值相同。

在与试验1完全相同的试验条件下所得到的控制输出曲线如图6所示。与试验1的结果相比较,该方法的 AFR控制精度明显低于本文所提的 NMPC控制方法。在发动机启动阶段(t =0 s至t =2 s),该算法产生了较大幅值的震荡;在t =15 s和t =20 s处, 当油门开度发生快速变化时,也产生了较高的超调,这是由于Modified Volterra模型AFR输出序列的预测精度相对较低所导致的。

图6

Fig.6

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	图6 基于Modified Volterra模型的NMPC控制算法的AFR控制效果,MAE=0.0873Fig.6 Simulation result of the NMPC algorithm based Modified Volterra model,MAE=0.0873

试验3 将文献[6]中所提控制方法与本文方法的控制性能进行对比试验。在与试验1完全相同的试验条件下,采用文献[6]中的Reduced Hessian SQP(Sequential quadratic programming)方法所得到的AFR控制输出曲线如图7所示。

图7

Fig.7

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	图7 基于RBFNN模型的NMPC控制算法的AFR控制效果,MAE=0.0542Fig.7 Simulation result of the NMPC algorithm based RBFNN model,MAE=0.0542

文献^{[ 6]}的AFR控制方法与基于Modified Volterra模型的NMPC控制方法相比,由于其AFR输出序列的预测精度较高,使得控制输出曲线相对较为平滑且控制响应速度相对较快,但是当油门变化时AFR均产生了较大的超调。与本文所提算法相比,其控制精度明显降低、调整时间增长,这是由于SQP算法在最优控制序列附近过早收敛所导致的。

针对SI发动机AFR控制系统提出了一种变采样间隔的Modified Volterra模型。并以此为基础提出了一种基于RBFNN模型和Modified Volterra模型的SI发动机AFR的联合NMPC控制方法。Modified Volterra模型的优点是以相对较低的模型截止阶次就可以达到较高的模型辨识精度,从而有效地解决了一类具有不同输入阶跃响应速度的非线性系统的Volterra模型建模计算量大的问题;而同时利用RBFNN模型和Modified Volterra模型的联合NMPC控制方法则既具有RBFNN模型计算量小、模型预测精度高的特点,又可利用Modified Volterra模型直接计算最优且闭环渐进稳定的NMPC控制序列,从而既提高了SI发动机AFR的控制精度又有效地避免了迭代优化方法所导致的大量计算负担。在dSPACE实时仿真试验平台上对发动机基准模型(MEVM模型)进行的AFR实时控制仿真试验结果表明:本文所提NMPC控制方法对SI发动机AFR的控制效果明显优于单独基于Modified Volterra模型或RBFNN模型的NMPC控制效果。