具有高耐用性、高功率/自重比、大作业范围等特点的液压机械臂, 已广泛应用于能源开采、建筑和交通运输等领域。目前, 针对液压机械臂系统的轨迹跟踪问题, 学者们提出了滑模控制、神经网络控制、自适应控制、鲁棒控制、模糊控制等方法。Le等^[1]提出一种神经网络模糊控制方法, 实现了迷你液压机械臂的轨迹跟踪。Mohanty等^[2]针对存在参数不确定性的液压机械臂系统的轨迹跟踪问题, 提出一种直接鲁棒自适应控制方法。Amer等^[3]针对存在不确定性的机械臂系统, 提出一种新的自适应模糊滑模控制方法, 自适应地调整模糊系统的控制参数和滑模面斜率, 获得很好的轨迹跟踪效果, 并且明显抑制了抖振。Neila等^[4]通过对机械臂系统不确定性和外界干扰的自适应估计, 提出一种鲁棒自适应终端滑模控制方法。Capisani等^[5]在具有未知障碍的工作空间, 设计一种二阶滑模控制器对机械臂进行力/位置控制。Van等^[6]提出一种基于二阶滑模观测器的输出反馈控制方法。Capisani等^[7]利用一个MIMO辨识程序准确辨识机械臂动力学模型的相关参数, 进而设计基于逆动力学的二阶滑模控制器, 并且在SMART3-S2工业机器人上进行测试, 获得良好的跟踪性能。凌睿等^[8]针对悬臂式掘进机器人提出基于有限状态结构的二阶滑模控制, 在无速度观测器的情况下, 实现精确轨迹跟踪, 削弱了传统滑模控制中的抖动问题, 提高了系统控制精度。吴玉香等^[9]针对一种移动机械臂提出二阶滑模控制方法, 获得较好的轨迹跟踪效果, 并有效地削弱滑模控制系统的抖振。然而, 在实际工程中会面临各种不确定性因素, 对液压机械臂环境适应性、效率和精度的要求也在不断提高^[10], 单纯地依靠某种智能控制方法已很难满足控制需要。

本文基于反演设计方法, 通过选取中间虚拟控制量, 逐步构造合适的Lyapunov函数, 直至完成液压机械臂轨迹跟踪的自适应二阶滑模控制器设计。该方法利用自适应律估计系统未知的总体不确定性^[11], 使液压机械臂的关节角精确跟踪期望轨迹的同时保持强鲁棒性, 并且削弱传统滑模控制的“ 抖振” 现象^[12]。根据Lyapunov稳定性理论证明了液压机械臂系统的渐近稳定性。

令 将式(13)改写为状态空间形式:

根据反演设计的思想, 自适应二阶滑模控制器的设计分为如下三步。

第一步:设 的期望值为 定义误差为:

式中: 为虚拟控制量。

取滑模面:

式中: 为三阶正定对角矩阵。

对式(15)求导得:

定义第一个虚拟控制量 为:

式中: 为三阶正定对角矩阵;

对式(18)求导得:

选取第一个Lyapunov函数为

对上式求导得:

第二步:定义 为 的估计值, 则估计误差为:

定义第二个虚拟控制量 为:

式中: 为三阶正定对角矩阵; 为三阶对角矩阵。

取自适应更新律为:

式中: 为三阶正定对角矩阵,

对式(18)求二阶导数得:

选取第二个Lyapunov函数为:

对上式求导可得:

第三步:定义 为 的估计值, 则估计误差为:

设计液压机械臂系统的实际控制律为:

式中: 为三阶正定对角矩阵; 为三阶对角矩阵。

取自适应更新律为:

式中: 为三阶正定对角阵。

定理 针对液压机械臂系统动力学模型(13)与状态方程(14), 选取式(18)的滑模面, 设计如式(31)的自适应二阶滑模控制律, 则系统闭环一致渐近稳定。

证明 选取第三个Lyapunov函数为:

对上式求导可得:

因此, 根据Lyapunov稳定性理论和Barbalat引理^[15]可知, 当 时, 此外, 若 轨迹跟踪误差也将一致渐近趋近于零。

为了验证本文控制算法的有效性, 利用系统参数如表1和表2所示的液压机械臂进行仿真。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 机械臂系统参数 Table 1 Parameters of manipulator L1/m 1.8 ρ 2/(kg· m-1) 20 L21/m 0.5 m3/kg 8 ρ 1/(kg· m-1) 20 r/m 0.8 m2/kg 10 L3/m 6 g/(m· s-2) 9.8 L31/m 0.8 L2/m 2.5 ρ 3/(kg· m-1) 40 L22/m 1.8 M/kg 500

表1 机械臂系统参数 Table 1 Parameters of manipulator

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 液压伺服系统参数 Table 2 Parameters of hydraulic servo system β e/(N· m-2) 2× 109 Ctm1/(m5· N-1· s-1) 7× 10-13 Ctmi/(m5· N-1· s-1) 5× 10-13 Ki/(cm· (mA)-1) 8 Kii/(cm· (mA)-1) 10 D/m2 0.2 Vt/m3 0.002 Kci/(m3· Pa-1· s-1) 6× 10-13 Kc1/(m3· Pa-1· s-1) 4× 10-13 Ap1/m2 0.015 Ap2/m2 0.02

表2 液压伺服系统参数 Table 2 Parameters of hydraulic servo system

未建模动态和外界干扰如下:

期望轨迹和初始值如下:

控制器参数如下:

本文针对液压机械臂的轨迹跟踪问题, 分别采用自适应滑模控制(ASMC)、二阶滑模控制(SOSMC)及本文(ASOSMC)方法进行对比仿真, 仿真结果如图4~图13所示。

图4

Fig.4

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	图4 无总体不确定性二阶滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.4 Tracking curves of SOSMC without uncertainty

图4

Fig.4

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	图4 无总体不确定性二阶滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.4 Tracking curves of SOSMC without uncertainty

图4

Fig.4

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	图4 无总体不确定性二阶滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.4 Tracking curves of SOSMC without uncertainty

图5

Fig.5

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	图5 无总体不确定性二阶滑模控制跟踪误差曲线Fig.5 Tracking error curves of SOSMC without uncertainty

图6

Fig.6

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	图6 有总体不确定性二阶滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.6 Tracking curves of SOSMC with uncertainty

图6

Fig.6

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	图6 有总体不确定性二阶滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.6 Tracking curves of SOSMC with uncertainty

图6

Fig.6

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	图6 有总体不确定性二阶滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.6 Tracking curves of SOSMC with uncertainty

图7

Fig.7

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	图7 有总体不确定性二阶滑模控制跟踪误差曲线Fig.7 Tracking error curves of SOSMC with uncertainty

由图4~图7可以看出, 不考虑系统总体不确定性时二阶滑模控制可以得到比较好的跟踪性能, 而在考虑系统总体不确定时二阶滑模控制的跟踪性能变差, 跟踪误差较大。由图8~图13可以看出, 在考虑系统总体不确定性时, ASMC和ASOSMC都可以使各关节快速、精确地跟踪上期望轨迹, 并且使液压机械臂系统具有较强的鲁棒性, 但ASOSMC具有控制电流连续、抖振抑制效果好的优点。

图8

Fig.8

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	图8 有总体不确定性自适应滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.8 Tracking curves of ASMC with uncertainty

图8

Fig.8

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	图8 有总体不确定性自适应滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.8 Tracking curves of ASMC with uncertainty

图8

Fig.8

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	图8 有总体不确定性自适应滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.8 Tracking curves of ASMC with uncertainty

图9

Fig.9

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	图9 有总体不确定性自适应滑模控制跟踪误差曲线Fig.9 Tracking error curves of ASMC with uncertainty

图10

Fig.10

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	图10 有总体不确定性自适应滑模控制电流曲线Fig.10 Current curves of ASMC with uncertainty

图11

Fig.11

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	图11 有总体不确定性自适应二阶滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.11 Tracking curves of ASOSMC with uncertainty

图11

Fig.11

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	图11 有总体不确定性自适应二阶滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.11 Tracking curves of ASOSMC with uncertainty

图11

Fig.11

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	图11 有总体不确定性自适应二阶滑模控制轨迹跟踪曲线Fig.11 Tracking curves of ASOSMC with uncertainty

图12

Fig.12

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	图12 有总体不确定性自适应二阶滑模控制 跟踪误差曲线Fig.12 Tracking error curves of ASOSMC with uncertainty

图13

Fig.13

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	图13 有不确定性时自适应二阶滑模控制电流曲线Fig.13 Current curves of ASOSMC with uncertainty

液压机械臂系统具有多参数时变、含有总体不确定性、强耦合等特点。本文利用反演设计方法构造液压机械臂系统的Lyapunov函数, 进而设计出可保证整个系统渐近稳定的自适应二阶滑模控制律, 通过自适应算法在线补偿系统未建模动态及外部扰动, 使系统在精确轨迹跟踪的同时保持强鲁棒性, 并且有效削弱了传统滑模控制的抖振现象。