均匀经验过程几乎处处中心极限定理的一个注记

J4 ›› 2011, Vol. 49 ›› Issue (04): 687-689.

均匀经验过程几乎处处中心极限定理的一个注记

张勇

吉林大学数学学院, 长春 130012

收稿日期:2010-10-08 出版日期:2011-07-26 发布日期:2011-08-16
通讯作者: 张勇 E-mail:zyong2661@jlu.edu.cn

A Note on |Almost Sure Central Limit Theorem forUniform Empirical Processes

ZHANG Yong

College of Mathematics, Jilin University, Changchun 130012, China

Received:2010-10-08 Online:2011-07-26 Published:2011-08-16
Contact: ZHANG Yong E-mail:zyong2661@jlu.edu.cn

摘要/Abstract

摘要：

设{ξ1,ξ2,…,ξn}为来自［0,1］上服从
均匀分布的独立同分布样本, 产生的经验过程为Fn(t)=n-1/2∑〖DD(〗n〖〗i=1
〖DD)〗(I{ξi≤t}-t), 0≤t≤1; ‖·‖表示一致模, 即‖Fn‖=sup〖D
D(〗〖〗0≤t≤1〖DD)〗〖JB(|〗Fn(t)〖JB)|〗; U为D［0,1］上的Brown桥, ‖U‖
=sup〖DD(〗〖〗0≤t≤1〖DD)〗〖JB(|〗U(t)〖JB)|〗. 利用概率强收敛工具,
得到了关于‖Fn‖及sup〖DD(〗〖〗0≤t≤1〖DD)〗Fn(t)的形如l
im〖DD(〗〖〗n→∞〖DD)〗〖SX(〗1〖〗log
n〖SX)〗∑〖DD(〗n〖〗k=1〖DD)〗〖SX(〗1〖〗k〖SX)〗I{‖Fk‖≤x}=P{‖U‖≤x}=1
+2∑〖DD(〗∞〖〗k=1〖DD)〗(-1)ke-2k2x2 a.s.
的几乎处处中心极限定理.

关键词: 均匀经验过程, 几乎处处中心极限定理, Brown桥

Abstract:

Let {ξ1,ξ2,…,ξn} be a sequence of indepen
dent and identically distributed U［0,1］distributed random variables. The
uniform empirical process generated by them is defined as Fn(t)=n-1/2∑
〖DD(〗n〖〗i=1〖DD)〗(I{ξi≤t}-t),〓 0≤t≤1; 〓‖Fn‖=sup〖DD(〗
〖〗0≤t≤1〖DD)〗〖JB(|〗Fn(t)〖JB)|〗.Let U be the Brownian bridge of
D［0,1］ and ‖U‖=sup〖DD(〗〖〗0≤t≤1〖DD)〗〖JB(|〗U(t)〖JB)|
〗. With the strong convergence of probability, we obtained the f
ollowing almost sure central limit theorem for ‖Fn‖ and sup〖D
D(〗〖〗0≤t≤1〖DD)〗Fn(t):
lim〖DD(〗〖〗n→∞〖DD)〗〖SX(〗1〖〗log n〖SX)〗∑〖DD(〗n〖〗
k=1〖DD)〗〖SX(〗1〖〗k〖SX)〗I{‖Fk‖≤x}=P{‖U‖≤x}=1+2∑〖DD(〗∞〖〗k=1〖
DD)〗(-1)ke-2k2x2〓a.s.[HJ]

Key words: uniform empirical process, almost sure central limit theorem, Brownian bridge

中图分类号:

O211.4

张勇. 均匀经验过程几乎处处中心极限定理的一个注记[J]. J4, 2011, 49(04): 687-689.

ZHANG Yong. A Note on |Almost Sure Central Limit Theorem forUniform Empirical Processes[J]. J4, 2011, 49(04): 687-689.

[1]	关丽红, 李映红. 随机序列几乎处处中心极限定理的注记[J]. 吉林大学学报(理学版), 2018, 56(2): 306-310.
[2]	赵珈玉, 高瑞梅. 截断和乘积几乎处处中心极限定理的注记[J]. 吉林大学学报(理学版), 2016, 54(05): 1036-1038.
[3]	郦园, 徐锋. ρ^--混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理的注记[J]. 吉林大学学报(理学版), 2016, 54(04): 785-789.
[4]	曹阳, 吴群英. ρ^--混合序列部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理[J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(06): 1151-1155.
[5]	刘艳萍, 吴群英, 杨飞. 高斯随机域最大值的几乎处处中心极限定理[J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(06): 1145-1150.
[6]	邹广玉, 张勇. ρ^-混合序列部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理[J]. J4, 2012, 50(06): 1129-1134.
[7]	冯凤香. 独立随机变量序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理[J]. J4, 2012, 50(02): 270-274.
[8]	吴素文, 张勇, 李喜霞, 冯大光. 均匀经验过程精确渐近性的一个注记[J]. J4, 2011, 49(05): 844-848.
[9]	叶大相, 吴群英. 随机元序列几乎处处中心极限定理的推广[J]. J4, 2011, 49(02): 251-254.
[10]	刘君. α-弱相依序列加权和的几乎处处中心极限定理[J]. J4, 2011, 49(01): 79-81.